紧致辛群和四元代数

停下来思考。

上述定义紧致辛群$Sp(n)$ 用的是交集，但我们可以给出其一个等价的更 expressive 的定义。

那么我们第一个要理解和证明的是，$GL(n,\mathbb{H})\cong GL(2n,\mathbb{C})$.

给定一个四元数$q=a+bi+cj+dk\in\mathbb{H}$，显然它可以写为$q=(a+bi)+(c+di)j$.

这里已经有一点直觉了，即一个 quaternion $q$ 对应了两个 complex number $x\equiv a+bi,y\equiv c+di$.

那么对于每一个$\Lambda\in GL(n,\mathbb{H})$，它都是$\mathbb{H}^n$ 上的可逆变换$\Lambda:(q_1,...,q_n)\mapsto (\tilde{q}_1,...,\tilde{q}_n)$。其中

$$\tilde{q}_k=\sum_{l=1}^n \Lambda_{k,l}q_l\\ \Lambda\begin{pmatrix}q_1\\ \vdots \\q_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tilde{q}_1\\ \vdots\\ \tilde{q}_n\end{pmatrix}$$

令$\Lambda=\Delta+\Theta j$，其中$\Delta,\Theta\in GL(n,\mathbb{C})$，即把四元数$\Lambda_{i,j}$ 拆成$x+yj$ 的形式。

记$q_k=x_k+y_kj$，那么有

$$\begin{aligned} \tilde{x}_k+\tilde{y}_kj&=\sum_{l=1}^n(\Delta_{k,l}+\Theta_{k,l}j)(x_k+y_kj)\\ &=\sum_{l=1}^n(\Delta_{k,l}x_k-\Theta_{k,l}y_k)+\left (\sum_{l=1}^n(\Delta_{k,l}y_k+\Theta_{k,l}x_k)\right )j \end{aligned}$$

所以

$$\tilde{x}_k=\sum_{l=1}^n(\Delta_{k,l}x_k-\Theta_{k,l}y_k)\\ \tilde{y}_k=\sum_{l=1}^n(\Delta_{k,l}y_k+\Theta_{k,l}x_k)$$

那么如果我们把$(q_1,...,q_n)\in\mathbb{H}^n$ 对应写成$(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n)\in\mathbb{C}^{2n}$，那么就有对应关系：

$$\Lambda\in GL(n,\mathbb{H}):(q_1,...,q_n)\mapsto (\tilde{q}_1,...,\tilde{q}_n)\\ c(\Lambda)= \begin{pmatrix} \Delta & -\Theta\\ \Theta & \Delta \end{pmatrix}\in GL(2n,\mathbb{C}):(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n)\mapsto(\tilde{x}_1,...,\tilde{x}_n,\tilde{y}_1,...,\tilde{y}_n)$$

我们发现了一个同构。即给一个$\Lambda\in GL(n,\mathbb{H})$，我们可以构造一个$c(\Lambda)\in GL(2n,\mathbb{C})$。对应地，给定一个$A\in GL(2n,\mathbb{C})$，我们也可以构造一个$\Lambda$。因为$(q_1,...,q_n)$ 和$(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n)$ 的表示是完全等价的。

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下一步我们应该发现，$U(n,\mathbb{H})\cong Sp(n,\mathbb{C})$。

$\mathbb{H}^n$ 上的 inner product 定义为：

$$\langle (q_1,...,q_n),(q'_1,...,q'_n)\rangle_{\mathbb{H}^n}=\sum_{i=1}^nq_i\bar{q}_i'\in\mathbb{H}$$

其中对于$q_i=a+bi+cj+dk\in\mathbb{H}$，记$\bar{q}_i=a-bi-cj-dk$。

令$q_i=x_i+y_ij$，其中$x_i,y_i\in \mathbb{C}$，那么$(q_1,...,q_n)$ 对应于$(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n)\in\mathbb{C}^{2n}$。

那么有：

$$\begin{aligned} \langle (q_1,...,q_n),(q'_1,...,q'_n)\rangle_{\mathbb{H}^n}&=\sum_{i=1}^nq_i\bar{q}_i'\\ &=\sum_{i=1}^n(x_i+y_ij)(\bar{x}_i'-y_i'j)\\ &=\sum_{i=1}^n(x_i+y_ij)(\bar{x}_i'-j\bar{y}_i')\\ &=\sum_{i=1}^n(x_i\bar{x}_i'+y_i\bar{y}_i')+(y_ij\bar{x}_i'-x_ij\bar{y}_i')\\ &=\sum_{i=1}^n(x_i\bar{x}_i'+y_i\bar{y}_i')+(y_ix_i'-x_iy_i')j\\ &=\langle (x_1,...,x_n,y_1,...,y_n),(x_1',...,x_n',y_1',...,y_n)'\rangle_{\mathbb{C}^{2n}}+\sum_{i=1}^n(y_ix_i'-x_iy_i')j \end{aligned}$$

那么如果对于一个$U\in U(2n)\cap Sp(n;\mathbb{C})$，我们发现$U$ 会保持上面两个和！什么意思呢，假设

$$U(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n)=(\tilde{x}_1,...,\tilde{x}_n,\tilde{y}_1,...,\tilde{y}_n)$$

那么因为$U\in U(2n)$，故$\langle (x,y),(x',y')\rangle_{\mathbb{C}^{2n}}=\langle(\tilde{x},\tilde{y}),(\tilde{x}',\tilde{y}')\rangle_{\mathbb{C}^{2n}}$，即保持$\mathbb{C}^{2n}$ 上的内积。

因为$U\in Sp(n;\mathbb{C})$，故根据定义$\sum_{i=1}^n(y_ix_i'-x_iy_i')=\sum_{i=1}^n(\tilde{y}_i\tilde{x}_i'-\tilde{x}_i\tilde{y}_i')$。

那么$U$ 对应的$\Lambda$ 也就保持了$\mathbb{H}^n$ 上的内积，而根据定义此时$\Lambda\in U(n,\mathbb{H})$。

因此我们说明了：

$$U(n,\mathbb{H})\cong Sp(n,\mathbb{C})\cap U(2n)$$

即如果我们想保持$\mathbb{H}^n$ 上的 inner product，也就等价于把$q\in\mathbb{H}^n$ 换一种表示转换为$(x,y)\in\mathbb{C}^{2n}$ 后，要保持$\mathbb{C}^{2n}$ 上的 inner product+$w(\cdot,\cdot)$。