教材为什么要说一些令人困惑的发言,我看到了感到很害怕,希望不要再发了,感觉很伤心。

# 矩阵与行列式

# 矩阵运算

  • 任何一个矩阵 A 都能表示成一个对称矩阵12(A+AT)\frac{1}{2}(A+A^T) 和一个反对称矩阵12(AAT)\frac{1}{2}(A-A^T) 的和,且表示方法唯一。

  • (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T

  • 若 AB=BA,则称 A 和 B 是可交换的。

  • A=kEA=kE,则称 A 是纯量矩阵

    • A 与任一 n 阶方阵可交换的充分必要条件是 A 是纯量矩阵。
  • 数域 K 上全体以 x 为不定元的多项式的集合记为K[x]K[x]

  • 方阵主对角线上元素和称为方阵的,记为tr(A)tr(A)。有tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)

    • tr(AAT)=Otr(AA^T)=O, 则A=OA=O
    • A2=AATA^2=AA^T, 则A=ATA=A^T

# 方阵的行列式

  • 方阵 A 的行列式记作Adet(A)|A|或 det(A)

  • A=AT|A|=|A^T|

  • a11...a1n.........am1...amn+b11...b1n.........am1...amn=a11+b11...a1n+b1n.........am1...amn\left |\begin{array}{cccc} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{m_n} \end{array}\right |+ \left |\begin{array}{cccc} b_{11}&...&b_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{m_n} \end{array}\right |=\left |\begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11}&...&a_{1n}+b_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{m_n} \end{array}\right |

    只有某一行不同的两个行列式相加的值等于~

  • 行列式中有两行值成比例,则行列式值为 0。

  • 交换行列式任意两行,行列式取负号,但将行列式某一行乘一个倍数加到另一行,行列式值不变。

  • Laplace 定理,|AB|=|A||B|

  • 行列式求解

    • 三角化1+a11111a11111+b11111b\left |\begin{array}{cccc} 1+a&1&1&1\\ 1&1-a&1&1\\ 1&1&1+b&1\\1&1&1&1-b\end{array}\right |

    • 爪型a1a2a3...anc2b2c3b3......cnbn\left |\begin{array}{cccc} a_1&a_2&a_3&...&a_n\\c_2&b_2\\c_3&&b_3\\...&&&...\\c_n&&&&b_n \end{array}\right |

    • 降阶递推法11...1x1x2...xn............x1n1x2n1...xnn1=j>i(xjxi)\left |\begin{array}{cccc} 1&1&...&1\\x_1&x_2&...&x_n\\...&...&...&...\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1} \end{array}\right |=\prod_{j>i}(x_j-x_i)(范德蒙行列式)

    • 镶边法11...1x1x2...xn............x1n2x2n2...xnn2x1nx2n...xnn=11...11x1x2...xnx...............x1n2x2n2...xnn2xn2x1n1x2n1...xnn1xn1x1nx2n...xnnxn\left |\begin{array}{cccc}1&1&...&1\\x_1&x_2&...&x_n\\...&...&...&...\\x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&...&x_n^{n-2}\\x_1^n&x_2^n&...&x_n^n \end{array}\right |=\left |\begin{array}{cccc}1&1&...&1&1\\x_1&x_2&...&x_n&x\\...&...&...&...&...\\x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&...&x_n^{n-2}&x^{n-2}\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1}&x^{n-1}\\x_1^n&x_2^n&...&x_n^n&x^n \end{array}\right |xn1x^{n-1} 的系数 *(1)n(-1)^n

    • 三对角a1b1c1a2b2c2a3b3c3a4b4c4a5.........\left |\begin{array}{cccc} a_1&b_1\\c_1&a_2&b_2\\&c_2&a_3&b_3\\&&c_3&a_4&b_4\\&&&c_4&a_5&...\\&&&&...&...\end{array}\right |(递推)

    • 对称流

      xaa...abxa...abbx...a...............bbb...x=xaa...0bxa...0bbx...0...............bbb...xb+xaa...abxa...abbx...a...............bbb...bDn=(xb)Dn1+bxa00...0baxa0...0babaxa...0...............111...1=(xb)Dn1+b(xa)n1\left |\begin{array}{cccc}x&a&a&...&a\\b&x&a&...&a\\b&b&x&...&a\\...&...&...&...&...\\b&b&b&...&x \end{array}\right |=\left |\begin{array}{cccc}x&a&a&...&0\\b&x&a&...&0\\b&b&x&...&0\\...&...&...&...&...\\b&b&b&...&x-b \end{array}\right |+\left |\begin{array}{cccc}x&a&a&...&a\\b&x&a&...&a\\b&b&x&...&a\\...&...&...&...&...\\b&b&b&...&b \end{array}\right |\\ D_n=(x-b)D_{n-1}+b\left |\begin{array}{cccc}x-a&0&0&...&0\\b-a&x-a&0&...&0\\b-a&b-a&x-a&...&0\\...&...&...&...&...\\1&1&1&...&1 \end{array}\right |=(x-b)D_{n-1}+b(x-a)^{n-1}

    • 有时还会作|A|=\sqrt{|A^2|}=\sqrt

# 逆矩阵

  • AB=EBA=EAB=E\Leftrightarrow BA=E

  • A 可逆A0\Leftrightarrow|A|\neq 0\LeftrightarrowA 是非奇异矩阵

  • AA=AA=AEAA^*=A^*A=|A|E,显然若 A 可逆,则A1,AA^{-1},A^* 均可逆。

  • (A^{-1})^T=(A^T)^{-1},(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},|A^{-1}|=\frac{1}

  • 若存在正整数 m 使方阵 A 满足Am=OA^m=O, 则称 A 为幂零矩阵

  • Cramer 法则 :若线性方程组的系数矩阵 A 的行列式不等于 0,则方程组有唯一解。

    线性齐次方程组可能有非零解的前提是系数矩阵行列式等于 0.

# 相抵标准形

  • 行阶梯形矩阵 A 若满足(1)每个主元都是 1(2)每个主元所在列其他元素都是 0,则称其为简化行阶梯形矩阵

    任意一个矩阵都可以仅由行初等变换化为简化行阶梯形矩阵。

  • 如果 A 可以由一系列行或列初等变换化为 B,则 B 也可以通过初等变换化为 A,称 A 与 B 相抵

  • 初等变换对应的初等矩阵

    • E(i,j)=E(i,j)= 把 E 的第 i 行与第 j 行交换。E(i,j)=1,E(i,j)1=E(i,j)|E(i,j)|=-1,E(i,j)^{-1}=E(i,j)
    • E(i(k))=E(i(k))= 把 E 的第 i 行乘个 k。E(i(k))=k,E(i(k))1=E(i(1k))|E(i(k))|=k,E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))
    • E(i,j(k))=E(i,j(k))= 把 E 的第 j 行乘个 k 加到第 i 行。E(i,j(k)=1,E(i,j(k))1=E(i,j(k))|E(i,j(k)|=1,E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k))
  • 初等行变换结果即为矩阵左乘上初等矩阵,而初等列变换的结果即为矩阵右乘上初等矩阵。

    值得注意的是,由于E(i,j)E(i(k))E(i,j)和E(i(k)) 既可以解释为 “交换第 i 行和第 j 行,把第 i 行乘个 k”,也以为解释为 “交换第 i 列和第 j 列,把第 i 列乘个 k”(对称性),所以左乘,右乘时不需要注意。

    但是,E(i,j(k))E(i,j(k)) 比较特殊,它解释为 “把第 j 行乘个 k 加到第 i 行上”,或 “把第 i 列乘个 k 加到第 j 列上”,所以左乘E(i,j(k))E(i,j(k)) 是把矩阵第 j 行乘个 k 加到第 i 行,但右乘的话就是第 i 列乘个 k 加到第 j 列了。千万注意。

  • 任意矩阵都和形如(ErOOO)\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix} 的矩阵相抵,则称该矩阵为其相抵标准形

  • 若矩阵 A 中存在一个 r 阶子式不等于 0,而 A 中所有大于 r 阶的子式都等于 0,则记r(A)=rr(A)=r 称为矩阵的。特别的,r(O)=0r(O)=0

    • r(Am×n)min(n,m)r(A_{m\times n})\leq min(n,m)
    • r(A)=r(AT)r(A)=r(A^T)
    • A 是阶梯数为 r 的行阶梯形矩阵,则r(A)=rr(A)=r
    • 若 A,B 都是 n 阶方阵,则r(A)+r(B)n+r(AB)r(A)+r(B)\leq n+r(AB)
    • r(A)+r(B)r(A:B)r(A+B)r(A)+r(B)\geq r(A:B)\geq r(A+B)
  • r(AB)\leq min\

  • r(Am×n)=mr(A_{m\times n})=m 则称其为行满秩矩阵,同理有列满秩矩阵。行满秩的方阵称为满秩矩阵。

    • 任意矩阵左乘行满秩矩阵,右乘列满秩矩阵,秩不变。
    • 满秩矩阵可以表示为若干初等矩阵的乘积。
  • A 与 B 相抵r(A)=r(B)存在可逆方阵P,Q使得PAQ=B\Leftrightarrow r(A)=r(B)\Leftrightarrow 存在可逆方阵P,Q使得PAQ=B

  • ABCD=ABD1CD\left |\begin{array}{cccc} A&B\\C&D\end{array}\right |=|A-BD^{-1}C||D| 想法是利用左乘 “初等分块矩阵” 把分块矩阵化为三角分块矩阵从而得出结果。

# 线性方程组理论

# 线性方程

  • AX=βAX=\beta 则称 A 为系数矩阵,A~=(A:β)\widetilde{A}=(A:\beta) 为增广矩阵。

  • 解集非空的方程组称为相容的线性方程组。

  • A~\widetilde{A} 化为行阶梯形矩阵,且每个主元都是 1 后

  • 主元所在项的未知量叫做主未知量(真未知量),其余未知量称为自由未知量

  • Ax=β,β0Ax=\beta,\beta\neq0 有解r(A)=r(A~)\Leftrightarrow r(A)=r(\widetilde{A}),其中有唯一解r(A)=r(A~)=n\Leftrightarrow r(A)=r(\widetilde{A})=n, 有无穷多解r(A)=r(A~)<n\Leftrightarrow r(A)=r(\widetilde{A})<n

    Ax=0Ax=0 只有零解r(A)=n\Leftrightarrow r(A)=n,Ax=0Ax=0 有无穷多组解(有非零解)r(A)<n\Leftrightarrow r(A)<n

# 向量空间

  • 一个数域 K(数域要求对加法和纯量乘法封闭)中元素组成的 n 元有序组称为 K 上的一个 n 元向量。数域 K 上的向量KnK^n 已经加法和纯量乘法组成的代数系统称为 K 上的 n 维向量空间。

    WKnW\subseteq K^n 且 W 中向量对加法和纯量乘法封闭,则称 W 是一个线性子空间。其中 {0} 称作平凡子空间。

  • 由一个向量组{α1,α2,...,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\} 中向量线性组合可以产生一个向量空间,记作L{α1,α2,...,αn}L\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\}, 其中,{α1,α2,...,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\} 称为该空间的一个生成组。其实一般只考虑 R 上的向量组。

  • 线性方程组有解的充要条件是β\beta 可以由系数矩阵 A 的列向量组线性表示。

  • 若向量组Σ1Σ2中的向量都都能由另一个向量组线性表示\Sigma_1和\Sigma_2中的向量都都能由另一个向量组线性表示,则称Σ1Σ2\Sigma_1\sim\Sigma_2,向量组等价。

    向量组等价\Leftrightarrow L\{\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n\}=L\

  • 若存在不全为 0 的数k1,...,knk_1,...,k_n 使得对向量组Σ\Sigma 中所有向量满足k1α1+k2α2+...+knαn=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n=0(这是一个线性齐次方程组),则称向量组Σ\Sigma 线性相关。反之,若不存在则称其线性无关。线性相关其实就是向量组中有个向量可以表示为向量组内其他向量的线性表示。

  • Σ2可由Σ1线性表示,且Σ2线性无关\Sigma_2可由\Sigma_1线性表示,且\Sigma_2线性无关,则Σ2Σ1|\Sigma_2|\leq|\Sigma_1|

    • 推论:KnK^n 中任意多于 n 个向量的向量组线性相关。
    • 推论:若Σ1,Σ2\Sigma_1,\Sigma_2 均线性无关,且Σ1Σ2\Sigma_1\sim\Sigma_2Σ1=Σ2|\Sigma_1|=|\Sigma_2|
  • 一个向量组中,能取出最多的向量个数使得他们线性无关称为向量组的秩(r ({0})=0)。而取出的向量组称为其一个极大线性无关组

    向量组中的任一个向量都能由向量组的极大线性无关组线性表示。

  • 若向量组Σ\Sigma 组成KnK^n 的一个子空间,且r(Σ)=rr(\Sigma)=r,则称Σ\SigmaKnK^n 的一个 r 维子空间。把Σ\Sigma 的一个极大线性无关组称为子空间Σ\Sigma 的一组

  • 注:其实我认为,向量组通常用Σ\Sigma 来表示,而由该向量组生成的向量空间应写成L(Σ)L(\Sigma),或简写成 L。

  • 矩阵行向量组的秩 = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵的秩

# 线性方程组的解空间

  • 解空间就是由解向量构成(注意不是生成)的向量空间。

  • 齐次线性方程组解空间的一组基称为齐次线性方程组的一个基础解系

    而其解空间的结构为:W=L{η1,..,ηnr}W=L\{\eta_1,..,\eta_{n-r}\},其中 r 是系数矩阵 A 的秩。转化成语言:

    存在 n-r 个线性无关的向量η1,...ηnr\eta_1,...\eta_{n-r},使得齐次线性方程组AX=0AX=0 的任意一个解向量都可以表示为Σ={η1,..,ηnr}\Sigma=\{\eta_1,..,\eta_{n-r}\} 的线性表示

    X=k1η1+...+knrηnrX=k_1\eta_1+...+k_{n-r}\eta_{n-r} 则为齐次线性方程组的通解形式。

  • 非齐次线性方程组AX=βAX=\beta 的通解形式则为其导出齐次线性方程组AX=0AX=0 的通解形式加上一个特解。

    W=k1η1+...+knrηnr+ξW=k_1\eta_1+...+k_{n-r}\eta_{n-r}+\xi, 其中η1,..,ηnr\eta_1,..,\eta_{n-r}AX=0AX=0 的基础解系,而ξ\xiAX=βAX=\beta 的一个特解。

# 相似矩阵

# 特征值特征向量特征空间

  • 特征值、特征向量、矩阵的特征多项式λEA|\lambda E-A|。求特征向量就是在解(λEA)X=0(\lambda E-A)X=0

  • 属于特征值λ0\lambda_0 的全体特征向量 + 零向量组成的 n 维向量空间KnK^n 的一个子空间称为λ0\lambda_0特征子空间,记作Vλ0V_{\lambda_0}

  • 特征值的性质

    • 方阵 A 的所有特征值和为方阵 A 的主对角线元素和,即 tr (A)。
    • 方阵 A 和其转置有相同特征值和特征向量。
    • α\alphaAA 的属于特征值λ\lambda 的一个特征向量,则α\alpha 是矩阵A1A^{-1} 的属于特征值1λ\frac{1}{\lambda} 的特征向量,α\alpha 是矩阵AA^* 的属于特征值Aλ\frac{|A|}{\lambda} 的特征向量。
    • α\alpha 是 A 的属于特征值λ\lambda 的一个特征向量,则α\alpha 也是f(A)f(A) 的属于特征值f(λ)f(\lambda) 的特征向量。
  • 特征向量的性质

    • 方阵若有 r 个特征值,每个特征值有rir_i 个特征向量,则这i=1rri\sum_{i=1}^rr_i 个特征向量均线性无关。

# 矩阵的相似变换

  • 相似矩阵的性质

    • 相似矩阵有相同的特征多项式,因此有相同的特征值,行列式,迹。
    • 相似矩阵有相同的秩。
    • 相似矩阵有相同的可逆性,且如果它们可逆时他们的逆矩阵也相似。
    • 若 A 与 B 相似,则f(A)f(A)f(B)f(B) 相似。
    • 若分块对角矩阵的每个分块相似,则整个分块对角矩阵相似。
  • 矩阵相似于对角矩阵的充要条件是该矩阵有 n 个线性无关的特征向量。(若方阵 A 有 n 个不同 i 的特征值,则肯定满足要求)

  • 若把矩阵 A 的特征值λ1,...,λr\lambda_1,...,\lambda_r 的 n 个线性无关的特征向量按顺序(从左到右)列排放构成矩阵Q=(α1,α2,...αn)Q=(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n),则Q1AQ=ΛQ^{-1}AQ=\varLambda,其中对角阵Λ\varLambda 对角线上的元素就是按顺序(从左到右)的特征值,若特征值有rir_i 个特征向量就写rir_i 次该特征值。

    • A=(210131012)的特征值为1,2,4,对应的特征向量为(111),(101),(121),Q=(111102111),Q1AQ=(124)例A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&1\\0&1&2\end{pmatrix}的特征值为1,2,4,对应的特征向量为\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},则\\ Q=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&2\\1&-1&1\end{pmatrix},Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}1&&\\&2&\\&&4\end{pmatrix}

  • 方阵 A 的特征值的几何重数定义为该特征值的特征子空间的维度,即属于该特征值有几个线性无关的特征向量,代数重数定义为该特征值为几重特征值。

    • 每个特征值的几何重数小于等于代数重数
    • 方阵 A 相似于对角阵充要条件是该方阵每个特征值的几何重数等于代数重数。

# Jordan 块

  • m 阶 Jordan 块定义为J0=(λ01λ01λ0......1λ0)m×mJ_0=\begin{pmatrix}\lambda_0\\1&\lambda_0\\&1&\lambda_0\\&&...&...\\&&&1&\lambda_0\end{pmatrix}_{m\times m}, 其特征值只有一个λ0\lambda_0,代数重数为 m。
  • J=(J1J2...Js)J=\begin{pmatrix}J_1\\&J_2\\&&...\\&&&J_s\end{pmatrix} 由 Jordan 块组成的分块对角矩阵称为 Jordan 标准型。
    • Jordan 块的幂矩阵很好算。
  • 秩为 r 的 n 阶幂等矩阵相似于对角阵 $ \begin {pmatrix} E_r&O\O&O \end {pmatrix} $

# 方阵的最小多项式

  • f(A)=Of(A)=O 时,称f(x)f(x) 为 A 的化零多项式。特别的,若f(λ)f(\lambda) 是 A 的特征多项式,则 f 也是 A 的化零多项式。

  • 方阵 A 的次数最低的首项系数为 1 的化零多项式称为 A 的最小多项式,最小多项式必存在且唯一。

  • 方阵 A 的任何特征多项式都能被最小多项式整除。

  • 相似矩阵有相同的最小多项式。

  • 分块对角矩阵的最小多项式为各分块矩阵的最小多项式的最小公倍式。

  • J0J_0 的最小多项式是(λλ0)m(\lambda-\lambda_0)^m

  • 方阵 A 的特征值必是其最小多项式的根。

  • 方阵 A 相似于对角阵的新的一个充要条件是其最小多项式无重根。

    • 推论:幂等矩阵必相似于对角阵 (f(A)=A2Af(A)=A^2-A 是其最小多项式)
    • 若 A 为秩为 r 的 n 阶幂等矩阵,则其 Jordan 标准型为\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end
  • 有且仅有对角矩阵可与对角矩阵交换(A 与对角矩阵相似,AB=BA,可推出 B 与对角矩阵相似)

# 二次型与对称矩阵

# 二次型

  • 含 n 个变量的二次齐次多项式称为二次型。只含有平方项的二次型称为标准二次型,更进一步如果标准二次型的系数只为 1,-1,0,则称其为规范二次型。

  • f=i=1nj=1naijxixj=xTAxf=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j=x^TAx, 则称 A 为二次型 f 的矩阵,称 A 为二次型 f 的矩阵。称 A 的秩 r (A) 为 f 的秩记作 r (f)。

  • 可以通过线性非奇异变换使二次型变为标准二次型,特别地,只有变换是正交的才会不改变 f=0 的几何形状。

# 合同

  • 若存在可逆矩阵 Q,使得QTAQ=BQ^TAQ=B, 则称 A 与 B 合同。

    • 合同矩阵秩相同。
    • 若 A 是对称矩阵,则 B 也是对称矩阵。
  • 设非奇异变换x=Cyx=Cy,若二次型f=xTAxf=x^TAx, 同时f=yTByf=y^TBy,则CTAC=BC^TAC=B

  • 实对称矩阵合同于对角矩阵

# 惯性定理

  • 二次型经非奇异线性替换化为标准形,在给定二次型的所有标准形中正项的系数都相同。
  • f=xTAxf=x^TAx 为实二次型,r (f)=r,经非奇异线性替换化 f 为标准形。若 f 的标准形中有 p 个正项,则称 p 为实二次型 f 与实对称矩阵 A 的正惯性指数,r-p 为 f 的负惯性指数,p-(r-p)为实对称矩阵 A 的负惯性指数。
  • 两个 n 元实二次型f=xTAxf=x^TAxg=yTByg=y^TBy 有相同的秩以及相同的正惯性指数的充要条件是存在非奇异线性替换x=Cyx=Cy 使得f=xTAx=yTBy=gf=x^TAx=y^TBy=g
  • 任一 n 阶实对称矩阵都合同于对角阵(EpEqO)\begin{pmatrix}E_p&&\\&-E_q&\\&&O\end{pmatrix},其中 p,q 分别是 A 的正、负惯性指数,p+q=r。称此对角阵为实对称矩阵的合同标准形
  • 实对称矩阵 A 与 B 合同的充要条件为 r (A)=r (B) 且 A 和 B 的正惯性指数相同。
  • n 阶实对称矩阵按合同这个等价关系可以分为12(n+1)(n+2)\frac{1}{2}(n+1)(n+2) 个等价类。

# 正定

  • 若对于任意 x,f=xTAx>0f=x^TAx>0 则称 f 为正定二次型,A 为正定矩阵。

  • 若 A 和 B 都是正定矩阵,则 A+B 也是正定矩阵。

  • n 元实二次型f=xTAxf=x^TAx 正定的充要条件是其正惯性指数 p=n。(即全是正项)

  • n 阶实对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 合同于单位矩阵 E,即存在可逆矩阵 C 使得A=CTEC=CTCA=C^TEC=C^TC

    • 若实对称矩阵 A 是正定矩阵,则 A 可逆且A1A^{-1}AA^* 都是正定矩阵。
  • n 阶实对称矩阵正定的充要条件是其各阶顺序主子式都大于零。

  • 负定矩阵一定合同于 - E,且奇数阶顺序主子式为负,偶数阶位正。

  • f0f\geq 0,则称其为半正定二次型,充要条件是p=r(f)np=r(f)\leq n(缺项,但项全是正的)

# 正交

  • α+βα+β|\alpha+\beta|\leq|\alpha|+|\beta|(α,β)αβ|(\alpha,\beta)|\leq|\alpha||\beta|

  • 两两正交的向量组称为正交向量组。特别地,若正交向量组中均为单位向量,则称其为标准正交向量组。若RnR^n 的一个基是标准正交向量组,则称之为标准正交基

  • 向量空间RnR^n 中,正交向量组必线性无关。

  • 柯西 - 施密特正交化:

    β1=α1β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1β3=α3(α3,β1)(β1,β1)β1(α3,β2)(β2,β2)β2....\beta_1=\alpha_1\\ \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1\\ \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2\\ ....

    再把每个β\beta 单位化。

  • 若矩阵 A 的列向量组是标准正交向量组,则称该矩阵为正交矩阵

  • n 阶实对称矩阵正交的充要条件是ATA=EA^TA=E

    • 若 A 是正交矩阵,则A1,AA^{-1},A^* 均为正交矩阵。
    • 若 A,B 都是正交矩阵,则 AB 也是正交矩阵。
  • 若 A 是正交矩阵,则称 x=Cy 是正交替换。

    • 线性替换x=Cyx=Cy 是正交替换的充要条件是对于任意 n 维向量α\alpha,α=Aα|\alpha|=|A\alpha|

# 实对称矩阵正交相似标准形

  • 实对称矩阵的特征值都是实数。

  • 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交。

  • 若存在正交矩阵 Q 使得Q1AQ=QTAQ=BQ^{-1}AQ=Q^TAQ=B,则称 A 正交相似于 B。

  • 实对称矩阵正交相似于对角阵,对角阵的元素为其特征值。n 阶实对称矩阵有 n 个线性无关的实特征向量。

    • 实对称矩阵 A,存在正交矩阵 Q,Q1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ=Q^TAQ=\varLambda,求矩阵 Q 的办法类似于求相似时按顺序排列特征值的特征向量,但需要把属于同一特征值的特征向量组正交单位化。
  • 因此可以用正交替换法换二次型为标准形,即f=xTAx,A=QTΛQ,f=(Qx)TΛ(Qx),y=Qx,f=yTΛyf=x^TAx,A=Q^T\varLambda Q,f=(Qx)^T\varLambda (Qx),y=Qx,f=y^T\varLambda y

# 线性空间与线性变换

# 线性空间

  • 判断集合是否形成线性空间需要验证其元素和运算是否满足:

    • 交换律、结合律
    • 零元、负元的存在
    • 两个分配律:(k+l)α=kα+lα,k(α+β)=kα+kβ(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha,k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta
    • 数乘的两个性质1α=α,k(lα)=(kl)α1\alpha=\alpha,k(l\alpha)=(kl)\alpha
    • 数乘、加法的封闭性
  • 但是如果要证明线性子空间的成立,运算的交换律结合律分配律、数乘都不需要验证

    只需要验证零元负元是否在子集里,数乘、加法的封闭性。

# 线性空间的同构

  • 线性空间里若存在一组向量,它们线性无关,且空间里任一向量均可由它们线性表示,则称这组向量为线性空间的一组,向量组的个数称为线性空间的维数。

  • 空间中某一向量由这组向量线性组成的系数向量就是在这组基下的坐标。坐标向量唯一。求坐标不能直接投影,必须要解方程。但如果基是正交的,则可以直接投影。

  • 基与基之间的变换可以由一个n×nn\times n 的矩阵表示,即为过渡矩阵。(η1,...,ηn)=(ϵ1,..,ϵn)Cn×n(\eta_1,...,\eta_n)=(\epsilon_1,..,\epsilon_n)C_{n\times n},过渡矩阵一定可逆。因为左右都是满秩的(秩为 n)

  • 同构映射:满足σ(α+β)=σ(α)+σ(β),σ(kα)=kσ(α)\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)

  • 同构映射保持线性相关、无关性,是否成基性。