"让我留下吧，" 他说，“浴室里确实有香皂。”

# 反常积分

# 定义

• 如果函数$f$ 定义在$[a,+\infin)$ 上，且在任意闭区间$[a,u]$ 上可积，且$\lim_{u\rightarrow \infin}\int_{a}^uf(x)dx$ 该极限收敛，则记该极限为$\int_{u}^{\infin}f(x)dx$，称为无穷积分。

• 如果函数$f$ 定义在$(a,b]$ 上，且在 a 的任意右邻域无界，且在任意闭区间$[u,b]\sub(a,b]$ 上可积，且$\lim_{u\rightarrow a}\int_{u}^bf(x)dx$ 收敛，则记该极限为$\int_{a}^bf(x)dx$，称为瑕积分，其中 a 是瑕点。

# 性质

# 无穷积分

# 柯西准则

• 无穷积分$\int_a^{+\infin} f(x)dx$ 收敛$\Leftrightarrow$ 任给$\epsilon>0$，存在$G\geq a$，使得$\forall u_1,u_2\in(G,+\infin)$，恒：

  $$|\int_a^{u_2}f(x)dx-\int_a^{u_1}f(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\epsilon$$

# 线性性质、区域可加、绝对收敛

• 线性性质：加号可拆，数乘可提。

• 绝对收敛：

  若$f$ 在任何有限区间$[a,u]$ 上可积，且有$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 收敛，则有$\int_a^{+\infin}f(x)dx$ 收敛，且$\int_a^{+\infin}f(x)dx\leq\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$

  但反之不成立，称$\int_a^{+\infin}f(x)dx$ 收敛但$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 不收敛的无穷积分为条件收敛。

# 瑕积分

# 柯西准则

• 瑕积分$\int_a^bf(x)dx$ 收敛（a 为瑕点）$\Leftrightarrow$ 任给$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得$\forall u_1,u_2\in(a,a+\delta)$，恒有：

  $$|\int_{u_1}^bf(x)dx-\int_{u_2}^bf(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_1}f(x)dx|<\epsilon$$

# 线性性质、区域可加、绝对收敛

# 两个重要反常积分

• 对于无穷积分$\int_1^{+\infin}\frac{dx}{x^p}$，当$p>1$ 时收敛，$p\leq 1$ 时发散。
• 对于瑕积分$\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^p}$，当$0<p<1$ 时收敛，$p\geq 1$ 时发散。

# 收敛判别法

# 无穷积分

# 比较法则

• 若$f,g$ 都在任何有限区间$[a,u]$ 上可积，$g(x)>0$，且有$\lim_{x\rightarrow+\infin}\frac{|f(x)|}{g(x)}=c$，
  • 当$0<c\neq +\infin$ 时，$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 与$\int_a^{+\infin}g(x)dx$ 同敛散
  • 当$c=0$ 时，由$\int_a^{+\infin}g(x)dx$ 收敛可推出$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 收敛
  • 当$c=+\infin$ 时，由$\int_a^{+\infin}g(x)dx$ 发散可推出$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 发散。

# 柯西判别法

• 设$f$ 定义于$[a,+\infin)$，在任何有限区间$[a,u]$ 上可积，且$\lim_{x\rightarrow +\infin}x^p|f(x)|=\lambda$，则有：
  • $p>1,0\leq\lambda<+\infin$ 时，$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 收敛
  • $p\leq 1,0<\lambda\leq+\infin$ 时，$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 发散

# 迪利克雷判别法

• 若$F(u)=\int_a^uf(x)dx$ 在$[a,+\infin)$ 上有界，

  $g(x)$ 在$[a,+\infin)$ 上单调且趋于 0,

  则有$\int_a^{+\infin}f(x)g(x)dx$ 收敛。

# 阿贝尔判别法

• 若$\int_a^{+\infin}f(x)dx$ 收敛，

  $g(x)$ 在$[a,+\infin)$ 单调有界，

  则有$\int_a^{+\infin}f(x)g(x)dx$ 收敛。

# 瑕积分

# 比较法则

把无穷积分中的趋近于正无穷改成趋近于 a

# 柯西判别法

• 设$f$ 定义于$(a,b]$，在任何有限区间$[u,b]\sub(a,b]$ 上可积，且$\lim_{x\rightarrow a}(x-a)^p|f(x)|=\lambda$，则有：
  • $0<p<1,0\leq\lambda<+\infin$ 时，$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 收敛
  • $p\geq 1,0<\lambda\leq+\infin$ 时，$\int_a^{+\infin}|f(x)|dx$ 发散

# 迪利克雷判别法

• 若$F(u)=\int_u^bf(x)dx$ 在$(a,b]$ 上有界，

  $g(x)$ 在$x\rightarrow a^+$ 时单调且趋于 0,

  则有$\int_a^{b}f(x)g(x)dx$ 收敛。

# 阿贝尔判别法

• 若$\int_a^{b}f(x)dx$ 收敛，

  $g(x)$ 在$(a,b]$ 单调有界，

  则有$\int_a^{b}f(x)g(x)dx$ 收敛。

# 数项级数

# 数项级数敛散性

# 定义

• 若数项级数的部分和$\{S_n=\sum_{i=1}^na_i\}$ 收敛于 S，即$\lim_{n\rightarrow+\infin}S_n=S$，则称该数项级数收敛。

# 柯西准则

• 数项级数$u_1+u_2+...$ 收敛$\Leftrightarrow$ 任给$\epsilon>0$，存在正整数$N$，使得对任意$n>m>N$，都有：

  $$|u_m+u_{m+1}+...+u_n|<\epsilon$$

• 特别地，数项级数收敛的一个必要条件是$\lim_{n\rightarrow+\infin}u_n=0$

# 基本性质

• 线性性：收敛的数项级数数乘和加减结果仍收敛。

• 去掉，增加，改变有限个项并不影响级数敛散性。

• 在收敛级数中任意加括号，分组形成的新的级数敛散性不变，级数和也不变。反之不成立，例如：

  $$(1-1)+(1-1)+...收敛，但1-1+1-1+1-...发散$$

# 两个重要级数

• $\sum_{n=0}^{+\infin}aq^n=\frac{a}{1-q}$，当且仅当$|q|<1$ 收敛。
• 调和级数$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}+...$ 发散。

# 正项级数

# 敛散性判别

# 充要条件

• 正项级数$\sum u_n$ 收敛的充要条件是部分和$\{S_n\}$ 有界。

# 比较原则

• 若$\{u_n\},\{v_n\}$ 是两个正项级数，且$\lim_{n\rightarrow+\infin}\frac{u_n}{v_n}=l$，则

  • $0<l<+\infin$ 时，两级数同敛散
  • $l=0$ 时，$\sum v_n$ 收敛可推出$\sum u_n$ 收敛
  • $l=+\infin$ 时，$\sum v_n$ 发散可推出$\sum u_n$ 发散

• 常常跟等比级数和 p 级数比较：

  $\sum\frac{1}{n^p}$，$p>1$ 收敛，$0\leq p\leq 1$ 时发散。

# 比式判别法

• 若$\lim_{n\rightarrow+\infin}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$，则

  • $q<1$ 时，级数$\sum u_n$ 收敛
  • $q>1$ 时，级数$\sum u_n$ 发散

• 注：即使极限不存在，但如果可以证明$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ 恒小于 1，也可以证明收敛。

# 根式判别法

• 若$\lim_{n\rightarrow+\infin}\sqrt[n]{u_n}=l$，
  • $l<1$，级数$\sum u_n$ 收敛
  • 若$l\geq 1$，级数$\sum u_n$ 发散

# 拉贝判别法

• 若$\lim_{n\rightarrow+\infin}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})=r$，则
  • $r>1$ 时，级数$\sum u_n$ 收敛，
  • $r<1$ 时，级数$\sum u_n$ 发散

# 积分判别法

• 设$f$ 是$[1,+\infin)$ 上非负递减函数，则正项级数$\sum_{n=1}^{+\infin}f(n)$ 于反常积分$\int_1^{+\infin}f(x)dx$ 同敛散。

# 一般项级数

# 交错级数

# 莱布尼茨判别法

• 若$u_n>0$，且单调趋于 0，则交错级数$\sum (-1)^{n+1}u_n$ 收敛。
• 若满足莱布尼茨判别饭，有|\sum_{i=n+1}^{+\infin}u_i|\leq u_

# 级数重排

# 重排定理

• 若一般项级数$\sum u_n$ 绝对收敛，则将其任意重排后仍绝对收敛，且级数和不变。

# 黎曼定理

• 若一般项级数$\sum u_n$ 条件收敛，则对于任意数 A，存在一种重排方案使得$\sum v_n=A$，特别地，也可以找到一种重排方案使级数发散。

# 柯西定理

• 若$\sum u_n,\sum v_n$ 都绝对收敛，且$\sum|u_n|=A,\sum|v_n|=B$，则对所有乘积$u_iv_j$ 的任意重排得到的级数均绝对收敛，且绝对收敛和为$AB$。

# * 阿贝尔变换和引理

• $\sum\epsilon_iv_i=(\epsilon_1-\epsilon_2)\delta_1+(\epsilon_2-\epsilon_3)\delta_2+...$

  其中$\delta_k=v_1+...v_k$

• 特别的，若$\epsilon_i$ 单调，且$|\delta_k|\leq A$ 有界，则有

  $$|\sum_{k=1}^n\epsilon_kv_k|\leq 3*max\{|\epsilon|\}A$$

# 阿贝尔判别法

• 若$\{a_n\}$ 单调有界

  且$\sum b_n$ 收敛

  则$\sum a_nb_n$ 收敛

# 迪利克雷判别法

• 若$\{a_n\}$ 单调递减，且$\lim_{n\rightarrow+\infin}a_n=0$

  且$\{b_n\}$ 部分和有界

  则$\sum a_nb_n$ 收敛

# 函数列与函数项级数

# 函数列

• 收敛点：若$\{ f_n(x_0)\}$ 收敛，则称$x_0$ 为该函数项列的一个收敛点

  收敛域：收敛点的集合

• 极限函数：若函数项级数$\{f_n(x)\}$ 在数集上每一点都收敛，则$f(x)=\lim_{n\rightarrow+\infin}f_n(x)$ 称为该函数列极限函数。

# 一致收敛性

• 若对于任意$\epsilon>0$，存在正整数$N$，使得对于任意$n>N$，有：

  对于任意$x\in D$，$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，则称函数列在$D$ 上一致收敛于$f(x)$，记作$f_n(x)\rightrightarrows f(x),x\in D$.

# 柯西准则

• 函数列$\{f_n\}$ 在 D 上一致收敛$\Leftrightarrow$ 对于任给$\epsilon>0$，总存在正整数$N$，使得对于任意$n,m>N$，对于任意$x\in D$，恒有

  $$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$

# 余项准则

• 函数列$\{f_n\}$ 在 D 上一致收敛$\Leftrightarrow$

  $$\lim_{n\rightarrow\infin}sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0$$

# 函数项级数

• 函数项级数的部分和是一个函数列
• 函数项级数的敛散性可以转化为其部分和（函数项级数）的敛散性

# 一致收敛性

# 柯西准则

• $\sum u_n(x)$ 在数集 D 上一致收敛的充要条件是：对于任意$\epsilon>0$，总存在正整数$N$，使得对于任意$n,m>N,x\in D$, 恒有：

  $$|S_n(x)-S_m(x)|<\epsilon，其中S_n(x)=\sum_{i=1}^nu_i(x)$$

# 余项准则

• $\sum u_n(x)$ 在数集 D 上一致收敛的充要条件是：

  $$\lim_{n\rightarrow\infin}sup_{x\in D}|S(x)-S_n(x)|=0，其中S(x)=\lim_{n\rightarrow\infin}S_n(x)$$

# 优级数判别法

• 若对于任意$x\in D,n$，恒有$|u_n(x)|\leq M_n$，其中$\sum M_n$ 为收敛的正项级数，则$\sum u_n(x)$ 在 D 上一致收敛。

# 阿贝尔判别法

• 若$\sum u_n(x)$ 在 D 上一致收敛

  且对于每个$x\in D$，$v_n(x)$ 都关于 n 单调，且$v_n(x)$ 关于 x 一致有界 (即对于所有的$x\in D$ 都有个公共的 M，使得$|v_n(x)|\leq M$)

  则$\sum u_n(x)v_n(x)$ 在 D 上一收敛

# 迪利克雷判别法

• 若$u_n(x)$ 的部分和函数列$\{U_n(x)\}$ 在 D 上一致有界

  且对于每个$x\in D$，$v_n(x)$ 关于 n 单调，且在 D 上$v_n(x)\rightrightarrows 0$

  则$\sum u_n(x)v_n(x)$ 在 D 上一致收敛

# 必要条件

• 函数项级数$\sum u_n(x)$ 在 D 上一致收敛的必要条件是函数列$\{u_n(x)\}$ 在 D 上一致收敛于 0.

# 一致收敛的函数列与函数项级数的性质

# 一致收敛的函数列性质

# 极限交换

• 设函数列$\{f_n\}$ 在$(a,x_0)\cup(x_0,b)$ 上一致收敛于$f(x)$，且对每个 n，都有$\lim_{x\rightarrow x_0}f_n(x)=a_n$，则有

  $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{n\rightarrow \infin}a_n，即\lim_{n\rightarrow\infin}\lim_{x\rightarrow x_0}f_n(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{n\rightarrow\infin}f_n(x)$$

# 连续性

• 若函数列$\{f_n(x)\}$ 在 D 上一致收敛，且其每一项都在 D 上连续

  则其极限函数都在 D 上连续。

# 可积性

• 若函数列$\{f_n(x)\}$ 在闭区间 D 上一致收敛，且其每一项都在 D 上连续，则

  $$\int_a^b\lim_{n\rightarrow\infin}f_x(x)=\lim_{n\rightarrow\infin}\int_a^bf_n(x)$$

# 可微性

• 若函数列$\{f_n(x)\}$ 在闭区间 D 上处处收敛，且其每一项在 D 上都有连续的导数，则

  $$\frac{d}{dx}(\lim_{n\rightarrow\infin}f_n(x))=\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{d}{dx}f_n(x)$$

# 补充说明：处处收敛却不一致收敛的例子

$$f_n(x)=sin^nx,x\in[0,\frac{\pi}{2}]\\ f(x)=\lim_{n\rightarrow+\infin}f_n(x)=\left\{ \begin{aligned} 1,x=\frac{\pi}{2}\\ 0,x\neq\frac{\pi}{2} \end{aligned} \right.\\ 所以对于任一给定的x，\{f_n(x)\}均收敛\\ 但显然找不到一个公共的N，使得\forall x\in[0,\frac{\pi}{2}],n>N,都有|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

# 一致收敛的函数项级数性质

# 逐项求极限

• 若函数项级数$\sum u_n(x)$ 在$x_0$ 的一个去心邻域上一致收敛，且对于每一个 n 都有$\lim_{x\rightarrow x_0}u_n(x)=a_n$，则有

  $$\lim_{x\rightarrow x_0}\sum^\infin u_n(x)=\sum^\infin\lim_{x\rightarrow x_0}u_n(x)$$

# 连续性定理

• 若函数项级数$\sum u_n(x)$ 在闭区间 D 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数$S(x)$ 也在闭区间 D 上连续。

# 逐项求积

• 若函数项级数$\sum u_n(x)$ 在闭区间 D 上一致收敛，且每一项都连续，则有

  $$\sum^\infin[\int_a^bu_n(x)dx]=\int_a^b[\sum^\infin u_n(x)]dx$$

# 逐项求导

• 若函数项级数$\sum u_n(x)$ 在闭区间 D 上处处收敛，且每一项在 D 上都有连续的导数，且$\sum u'_n(x)$ 在 D 上一致收敛，则有

  $$\sum^\infin[\frac{d}{dx}u_n(x)]=\frac{d}{dx}[\sum^\infin u_n(x)]$$

#　幂级数

• 定义：形如$\sum_{n=0}^\infin a_nx^n$，也可以看作函数项级数，$u_n(x)=a_nx^n$

# 收敛性与收敛半径

# 阿贝尔定理

• 若幂级数在$\bar{x}\neq 0$ 处收敛，则对于所有的$x,|x|<|\bar{x}|$，幂级数在$x$ 处收敛。

  反之，若幂级数在$\bar{x}\neq 0$ 处发散，则对于所有的$x,|x|>|\bar{x}|$，幂级数在$x$ 处发散。

由阿贝尔定理，幂级数的收敛域一定是以原点为中心，形如$(-R,R)$ 的一个区间，其中 R 称为收敛半径。对于所有$x\in(-R,R)$，幂级数均收敛，对于所有$x>R或x<-R$，幂级数均发散。但$x=R和x=-R$ 是否收敛需要单独验证。

# 收敛半径求法

• 对于幂级数，若有$\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\rho$，或$\lim_{n\rightarrow \infin}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,\bar{\lim_{n\rightarrow \infin}}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho(最大值)$，(条件等价)，都有：

  $R=\frac{1}{\rho}$。（注：$\frac{1}{\infin}=0,\frac{1}{0}=\infin$)

# 幂级数性质

# 内闭一致收敛性

• 幂级数在其收敛域的任意子闭区间上一致收敛。

# 连续性，可积性，可导性

• 幂级数的和函数在其收敛域上连续可导，在收敛于任一闭子区间可积。

# 逐项求极限、求积分、求导

$$\lim_{x\rightarrow a^-}\sum_{n=0}^\infin a_nx^n=\sum_{n=0}^\infin \lim_{x\rightarrow a^-} a_nx^n=\sum_{n=0}^\infin a_na^n\\ \int_0^x\sum_{n=0}^\infin a_nt^ndt=\sum_{n=0}^\infin\int_0^x a_nt^ndt=\sum_{n=0}^\infin\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\\ \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infin a_nx^n=\sum_{n=0}^\infin na_nx^{n-1}\\ 以上x\in(-R,R)$$

• 注：逐项求导逐项求积分后得到的幂级数收敛半径不变，仍为 R。但边界处（$x=\pm R$）的敛散性可能变化。

# 幂级数的运算

$$\sum_{n=0}^\infin a_nx^n=\sum_{n=0}^\infin b_nx^n,|x|<min\{|R_a|,|R_b|\}\Leftrightarrow a_n=b_n,n=0,1,2,...\\ (\sum_{n=0}^\infin a_nx^n)(\sum_{n=0}^\infin b_nx^n)=\sum_{n=0}^\infin c_nx^n,c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}$$

• 泰勒级数，麦克劳林级数均为幂级数。

# 傅里叶级数

# 正交函数系

• 若函数列$\{\phi_n(x)\}$ 满足：

  • $\phi_n(x)$ 在$[a,b]$ 上可积

  • $$\int_a^b\phi_n(x)\phi_m(x)dx=\left\{ \begin{aligned} \lambda_n\neq 0,n=m\\ 0,n\neq m \end{aligned} \right.$$

  则称这个函数列为$[a,b]$ 的一个正交函数系。

• 特别地，$[-\pi,\pi]$ 上的正交三角函数系：

  $$1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,....$$

  $[-l,l]$ 上的正交三角函数系：

  $$1,cos\frac{\pi}{l}x,sin\frac{\pi}{l}x,cos\frac{2\pi}{l}x,sin\frac{2\pi}{l}x,...$$

# 傅里叶级数

• 设$f$ 是周期为$2l$ 在$[-l,l]$ 上可积的函数，则称

  $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin(a_ncos\frac{n\pi}{l}x+b_nsin\frac{n\pi}{l}x)$$

  为$f$ 在三角函数系下的傅里叶级数，其中

  $$\left\{ \begin{aligned} a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)cos\frac{n\pi}{l}x\,dx\quad n=0,1,2...\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)sin\frac{n\pi}{l}x\,dx\quad n=1,2,... \end{aligned} \right.$$

• 特别地，f 是偶函数时，又$b_n\equiv 0$，f 是奇函数时，$a_n\equiv 0$

• 注意函数展开时，需要将函数延拓致周期函数。

# 收敛定理

• 设$f$ 为周期为$2l$ 的函数，在$[-l,l]$ 上按段光滑（只有有限个跳跃间断点，其余连续）：则有，对于某个$x_0$
  • 若$f(x)$ 在$x_0$ 处连续，则$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin(a_ncos\frac{n\pi}{l}x_0+b_nsin\frac{n\pi}{l}x_0)=f(x_0)$，即傅里叶级数收敛于函数值
  • 若$f(x)$ 在$x_0$ 处跳跃间断，则$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infin(a_ncos\frac{n\pi}{l}x_0+b_nsin\frac{n\pi}{l}x_0)=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$，即傅里叶级数收敛于两个单侧极限平均值。

# * 黎曼 - 勒贝克定理

$$\lim_{p\rightarrow\infin}\int_a^bf(x)sinpxdx=0=\lim_{p\rightarrow\infin}\int_a^bf(x)cospxdx$$

# * 帕塞瓦尔等式

• 若$f$ 周期为$2\pi$ 且在$[-\pi,\pi]$ 上可积，则有

  $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infin(a_n^2+b_n^2)$$

  其中$a_n,b_n$ 为函数的傅里叶系数。

# 多元函数的极限

# 平面点集

• 概念：（内点，界点，外点），（聚点，孤立点），（开集，闭集，有界集），（开域，闭域，区域）
• 定理：柯西准则，闭区域套定理，聚点定理，致密性定理，有限覆盖定理

# 二元函数的极限和连续性

# 重极限

$$在点P_0(x_0,y_0)处，若有\forall \epsilon>0,均\exists\delta>0,使得\forall x\in U^0(P_0,\delta)(矩形邻域，圆形邻域均可)，有\\ |f(x,y)-A|<\epsilon，则称重积分\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=A$$

• 重积分存在的一个必要条件是沿着任何路径趋近$P_0$ 得到的极限都一样。

# 累次极限

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y),\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)$$

• 两个累次积分不一定相等。例$f=\left\{\begin{aligned}xsin\frac{1}{y}\quad y\neq0\\0\quad y=0\end{aligned}\right.$
• 若重积分和上面两个累次积分都存在，那么三者都相等。
• 若两个累次积分都存在却不相等，则重积分一定不存在。

# 连续性

• $f$ 在$(x,y)$ 处连续$\Leftrightarrow$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=0$

• 若$f$ 在$(x_0,y_0)$ 处连续，则一元函数$f(x_0,y)和f(x,y_0)$ 分别在$x=x_0和y=y_0$ 处连续，但反之不成立，例如

  $$f(x,y)=\left\{\begin{aligned}\frac{xy}{x^2+y^2}\quad (x,y)\neq 0\\0\quad (x,y)=0\end{aligned}\right.$$

# 局部性质

• 局部有界性、保号性、四则法则、复合法则
• 若是在闭区域上的连续函数还有一致连续性，介值性。

# 多元函数的微分

# 可微性

# 全微分

• 二元函数$z=f(x,y)$ 在点$P_0$ 某邻域内有定义，则其增量能写成$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，即其全微分$dz=Adx+Bdy$ 存在的充要条件是$\lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{\Delta z-f_x'(x_0,y_0)\Delta x-f_y'(x_0,y_0)\Delta y}{\rho}=0$，其中$\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$，$\rho\rightarrow 0\Leftrightarrow (\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)$，是个重积分。

# 可微、连续、可偏导的关系如下

# 反例

# 可微但偏导不连续

$$f(x,y)=\left\{\begin{aligned}\frac{xy}{x^2+y^2}\quad (x,y)\neq 0\\0\quad (x,y)=0\end{aligned}\right.$$

# 连续但不可微 & 连续却不可导

• 一元函数这样的反例很多，显然

# 可导但不可微

$$f(x,y)=\left\{\begin{aligned}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad (x,y)\neq 0\\0\quad (x,y)=0\end{aligned}\right.$$

• 在原点处两个偏导数都是 0，可导。但在原点出不可微。

# 可导但不连续

$$f(x,y)=\left\{\begin{aligned}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad (x,y)\neq 0\\0\quad (x,y)=0\end{aligned}\right.$$

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)令y=kx,\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}不存在（与路径有关）$$

• 故可导但原点处不连续

# 几何意义

• $z=f(x,y)$ 在$(x_0,y_0)$ 处切平面为$z-z_0=f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0,y_0)(y-y_0)$

• 切线就是切平面的法向量。

# 链式求微分

# 方向导数与梯度

• 方向导数就是梯度在该方向上的投影。

# * 泰勒定理

$$f(x_0+h,y_0+k)=\\f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)+...+\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)+\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)\\ \theta\in(0,1)$$

# 隐函数

# 隐函数存在唯一性定理

• 函数$F(x,y)$ 在$(x_0,y_0)$ 的某邻域 D 内满足

  • 连续
  • $F(x_0,y_0)=0$
  • $F_y'(x_0,y_0)\neq 0$
  • 在 D 内有连续的偏导数$F_y'(x,y)$

  则确定了一个定义在$(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$ 上的隐函数$y=f(x)$ 使得

  • $f(x_0)=y_0$
  • $f(x)$ 在定义域内连续
  • $F(x,f(x))\equiv 0$

# 隐函数可微性定理

• 若函数$F(x)$ 满足存在唯一性定理的条件，在加上$F_x'(x,y)$ 在 D 内也连续，则有

  $$f'(x)=-\frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)}$$

# * 隐含数组

• 若函数组$\left\{\begin{aligned}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{aligned}\right.$ 满足：

  • $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$
  • $F,G$ 连续
  • $F,G$ 有连续的一阶偏导数
  • $J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\bigg|_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}\neq 0$

  则存在$\left\{\begin{aligned}u=f(x,y)\\v=g(x,y)\end{aligned}\right.$

• $f,g$ 也是连续的，也有偏导数。具体求法通常直接对函数组左右同时求偏导解方程好了。

# 几何应用

# 平面曲线切线

• $F(x,y)=0$ 在$(x_0,y_0)$ 处切线方程为$F_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y'(x_0,y_0)(y-y_0)=0$

# 空间曲线切线

$$\left\{\begin{aligned}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{aligned}\right.$$

的切线为\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}

# 空间曲面切平面

• $F(x,y,z)=0$ 的切平面为$F_x'(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$

• 法线直接求切平面法线。

# 条件极值

• 求解$f(x_1,x_2,...,x_n)$ 在约束组$\phi_i(x_1,x_2,...,x_n)=0,i=1,2,..,m$ 情况下的极值。

• 拉格朗日数乘法，令$L=f+\sum_{i=1}^m\lambda_i \phi_i$

  求解方程组$\left\{\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial x_i}=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda_i}=0\end{aligned}\right.$

• 验证 f 的黑塞矩阵在所求出的$(x_1,x_2,...,x_n)$ 处是否是正定矩阵（极小值），或负定矩阵（极大值）。

# 含参量积分

# 含参量正常积分

# 性质

# 连续性

• 若$f(x,y)$ 在区域$G=\{(x,y)|a\leq x\leq b,c(x)\leq y\leq d(x)\}$ 上连续，且$c(x),d(x)$ 在$[a,b]$ 上连续，则

  含参量积分$F(x)=\int_{c(x)}^{d(y)}f(x,y)dy$ 在$[a,b]$ 上连续。

# 可微性

• 若$f$ 与$\frac{\partial}{\partial x}$ 在$[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则$F(x)=\int_c^df(x,y)dy$ 可微，且

  $$dF(x)=[\int_c^d\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy]dx$$

• $$\frac{d}{dx}\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy= \int_{c(x)}^{d(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy+f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)$$

# 可积性

• 若$f$ 在$[a,b]\times[c,d]$ 上可积，有

  $$\int_a^bdx\int_c^dfdy=\int_c^ddy\int_a^bfdx$$

# 含参量反常积分

# 定义

• 含参量反常积分$F(x)=\int_a^{+\infin}f(x,y)dy$ 要求反常积分在$[a,b]$ 上处处收敛。

• 一致收敛性：一致（对于 x）收敛（指无穷积分收敛），即：

  $$\forall\epsilon>0,\exists N\in N^*,s.t.\forall x\in[a,b],M>N,都有|\int_a^{+\infin}f(x,y)dy-\int_a^Mf(x,y)dy|<\epsilon$$

# 一致收敛性的判别法

# M 判别法

• 设$\int_a^{+\infin}f(x,y)dy$ 在$x\in T$ 上收敛，若

  $$|f(x,y)|\leq F(y),a\leq y<+\infin,且\int_a^{+\infin}F(y)dy收敛$$

  则$\int_a^{+\infin}f(x,y)dy$ 关于$x\in T$ 一致收敛。

# 阿贝尔判别法

• 若$\int_a^{+\infin}f(x,y)dy$ 关于 x 一致收敛

  $g(x,y)$ 关于 y 单调，且作为二元函数是有界的

  则$\int_a^{+\infin}f(x,y)g(x,y)dy$ 关于 x 一致收敛

# 迪利克雷判别法

• 若$\forall A\geq a,\int_a^Af(x,y)dy$ 关于 x 一致有界

  $g(x,y)$ 关于 y 单调且极限$\lim_{y\rightarrow\infin}g(x,y)=0$ 关于 x 是一致的

  则$\int_a^{+\infin}f(x,y)g(x,y)dy$ 关于 x 一致收敛

# Dini 定理

• 设$f(x,y)$ 在$D=\{a\leq y<+\infin,\alpha\leq x\leq \beta\}$ 上连续不变号，$\phi(x)=\int_a^{+\infin}f(x,y)dy$ 在$[\alpha,\beta]$ 上连续，则

  $$\int_a^{+\infin}f(x,y)dy关于x\in[\alpha,\beta]一致收敛$$

# 性质

# 连续性

• 设$f$ 在$[a,b]\times[c,+\infin)$ 上连续，若$F(x)=\int_c^{+\infin}f(x,y)dy$ 在$[a,b]$ 上一致收敛，则$F(x)$ 在$[a,b]$ 上连续。

# 可微性

• 设$f,f_x'在$$[a,b]\times[c,+\infin)$ 上连续，, 若$I(x)=\int_c^{+\infin}f(x,y)dy$ 在$[a,b]$ 上处处收敛，$\int_c^{+\infin}f_x'(x,y)dy$ 在$[a,b]$ 上一致收敛，则$I(x)$ 在$[a,b]$ 上可微，$I'(x)=\int_a^bf_x'(x,y)dy$

# 可积性

• 设$f$ 在$[a,b]\times[c,+\infin)$ 上连续，若$F(x)=\int_c^{+\infin}f(x,y)dy$ 在$[a,b]$ 上一致收敛，则

  $$\int_a^bdx\int_c^{+\infin}f(x,y)dy=\int_c^{+\infin}dy\int_a^bf(x,y)dx$$

# 变量等价性

设$f$ 在$[a,+\infin)\times[c,+\infin)$ 上连续

• 若$\int_a^{+\infin}f(x,y)dx$ 关于 y 在任何闭区间上一致收敛，则$\int_c^{+\infin}f(x,y)dy$ 关于 x 在任何闭区间上一致收敛。
• 积分$\int_a^{+\infin}dx\int_c^{+\infin}|f|dy$ 与$\int_c^{+\infin}dy\int_a^{+\infin}|f|dx$ 中如果有一个收敛则另一个也收敛，且两者相等。

# 欧拉积分

$$B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx(p,q>0),\Gamma(s)=\int_p^{+\infin}x^{s-1}e^{-x}dx$$

称为第一类、第二类欧拉积分

# 性质

$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s),s>0\\ ln\Gamma(s)下凸\\ \Gamma(2s)=\frac{2^{2s-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{2})\\$$

余元公式：

$$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{sin(s\pi)}$$

$$B(p,q)=B(q,b)\\ B(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q)\\ B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$$

$$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\\ \Gamma(s)=\int_0^{+\infin}x^{s-1}e^{-x}dx=2\int_0^{+\infin}x^{2s-1}e^{-x^2}dx=p^s\int_0^{+\infin}x^{s-1}e^{-px}dx\\ B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{2q-1}\theta cos^{2p-q}\theta d\theta$$

# 曲线积分

# 第一型曲线积分

# 性质

• 线性性、可加性、单调性、绝对可积性、中值性

# 计算

• 若$L=\left\{\begin{aligned}x=x(t)\\y=y(t)\end{aligned}\right.,t\in[\alpha,\beta]$，则

  $$\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$$

• 若$L:y=y(x),x\in[a,b]$ 则

  $$\int_Lf(x,y)ds=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+y'(x)^2}dx$$

# 应用

对于空间曲线段 L，有

# 质量

$$m=\int_L\rho(x,y)ds$$

# 重心

$$\bar{x}=\frac{\int_Lx\rho(x,y)ds}{\int_L\rho(x,y)ds}$$

# 转动惯量

$$I_x=\int_Ly^2\rho(x,y)ds$$

# 第二型曲线积分

$$\int_L \textbf{F}\cdot\textbf{ds},其中\textbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)),\textbf{ds}=(dx,dy)$$

# 性质

# 可加性

• 积分的线段可以首尾相接，积分相加。

# 计算

$$L=\left\{\begin{aligned}x=x(t)\\y=y(t)\end{aligned}\right.,t\in[\alpha,\beta]\\ \int_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta P(x(t),y(t))x'(t)dt+Q(x(t),y(t))y'(t)dt$$

# 应用

# 变力做功

$$W=\int_L\textbf{F}(x,y)\cdot\textbf{ds}$$

# 重积分

# 二重积分

# 定义

• 注意分割时，应分割成 “n 个可求面积的小区域”，然后在每个小区域上任取点。

# 可积的条件

# 必要条件

• 函数$f(x,y)$ 在 D 上可积的必要条件是在 D 上有界。

# 充分条件

• 有界闭区域 D 上的连续函数都可积
• * 有界闭区域 D 上的有界函数 f，如果它的不连续点都落在有线条光滑曲线上，则它可积。

# 充要条件

• 按照定义

  $$\lim_{|T|\rightarrow 0}(S(T)-s(T))=0$$

# 性质

# 线性性

# 区域可加性

• 若两个积分的区域无公共内点，则两积分可加

# 单调性

# 绝对可积性

$$|\iint_Df(x,y)d\sigma|\leq\iint_D|f(x,y)|d\sigma$$

# 中值定理

$$\iint_D f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)S_D$$

# 二重积分转化为二次积分

$$f(x,y)在D=\{a\leq x\leq b,c(x)\leq y\leq d(x)\}上可积，则\\ \iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy$$

# 格林公式

• 若$P(x,y),Q(x,y)$ 在闭区域 D 上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有

  $$\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma=\oint_LPdx+Qdy$$

  注：格林公式的 L 针对 xOy 平面上的二维曲线，取逆时针为方向。

# 路径无关性

单连通区域 D 内以下四个条件等价：

• 按 D 内任一段光滑封闭曲线 L，都有$\oint_L Pdx+Qdy=0$
• 按 D 内任一段光滑封闭曲线 L，曲线积分$\int_L Pdx+Qdy$ 都只与起始点、终点有关，而与路径无关
• $Pdx+Qdy$ 是 D 内某一函数的全微分$du=Pdx+Qdy$
• 在 D 内处处满足\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}

# 二重积分的变量变换

$$\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_Df(x(u,v),y(u,v))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|d\sigma$$

特别地，$x=rcos\theta,y=rsin\theta$ 时，$|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=r$，所以$d\sigma=dxdy=rdrd\theta$

# 重积分的应用

# 曲面面积

• $z=f(x,y)$ 在区域 D 内的曲面面积为

  $$\Delta S=\iint_D\sqrt{1+f_x'^2+f_y'^2}dxdy$$

• 曲面$\left\{\begin{aligned}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{aligned}\right.$ 在区域 D 内（$(u,v)\in D$）的面积为

  $$\Delta S=\iint_D\sqrt{EG-F^2}dudv$$

  其中，$E=x_u'^2+y_u'^2+z_u'^2,G=x_v'^2+y_v'^2+z_v'^2,F=x_u'x_v'+y_u'y_v'+z_u'+z_v'$

# 薄片的质量、重心、转动惯量等

# 曲面积分

# 第一型曲面积分

• 由$z=z(x,y)$ 定义的曲面上的积分

  $$\iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}dxdy$$

  其中，D 是 S 在 xOy 平面上的投影。本质就是$dS=\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}dxdy$

• 曲面$\left\{\begin{aligned}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{aligned}\right.$ 在区域 D 内（$(u,v)\in D$）

  $$\Delta S=\iint_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv$$

  其中，$E=x_u'^2+y_u'^2+z_u'^2,G=x_v'^2+y_v'^2+z_v'^2,F=x_u'x_v'+y_u'y_v'+z_u'+z_v'$

# 第二型曲面积分

• 由$z=z(x,y)$ 定义的曲面上的积分

  $$\iint_S R(x,y,z)dxdx=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$$

  其中，$D_{xy}$ 为曲面在 xOy 平面上的投影。

  关于符号，若取曲面的上侧为正，符号为正，反之为负。

  （上侧我理解为沿着坐标轴正方向移动一点得到的侧面）

• 曲面$\left\{\begin{aligned}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{aligned}\right.$，有

  $$\iint_S Pdydz=\pm\iint_D P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|dudv,(u,v)\in D$$

  本质还是$dydz=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|dudv$

# 两类曲面积分的联系

• 曲面$F(x,y,z)$ 的法向量$\textbf{n}$，有

  $$dScos(\textbf{n},x)=dydz\\ dScos(\textbf{n},y)=dxdz\\ dScos(\textbf{n},z)=dxdy$$

# 高斯公式

• 取封闭光滑曲面 S 外侧为正，有（要求有连续一阶偏导数）

  $$\oiint_SPdydz+Qdzdz+Rdxdy=\iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$

# 斯托克斯公式

• $$\oint_LPdx+Qdy+Rdz=\iint_S \left|\begin{array}{cccc} dydz&dzdx&dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{array}\right|$$

  其中，要求 L 的方向满足：L 围成的曲面 S 在 L 走向的左侧。否则需要取负号

# 空间积分与路径无关

在空间单连通区域$\Omega$ 上，P,Q,R 均有连续的一阶偏导数，以下四个条件等价

• 沿$\Omega$ 内任一光滑封闭曲线，有$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=0$
• 对$\Omega$ 中任一按段光黄曲线 L，有$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=0$ 与路径无关，只与起点，终点有关。
• $Pdx+Qdy+Rdz$ 为$\Omega$ 内某一函数的全微分$du=Pdx+Qdy+Rdz$
• $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$ 在$\Omega$ 内处处成立（即用斯托克斯公式后，曲面积分为$\iint 0dydz+0dxdy+0dxdz$）

# 场论初步

# 数量场的梯度场

$$u=u(x,y,z)为数量场\\ \triangledown u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})为梯度场（向量场）$$

# 向量场的散度场

$$A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为向量场\\ divA(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}为散度场（数量场）\\$$

# 向量场的旋度场

$$A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为向量场\\ rotA(x,y,z)=\left|\begin{array}{cccc} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{array}\right|为旋度场(向量场)$$

# 场的高斯公式与斯托克斯公式

• 与之前定义等价，两公式可改写为

  $$\iiint_V divAdV=\oiint_S\textbf{A}\cdot \hat{n}dS高斯公式\\ \iint_S rotA\cdot \hat{n}dS=\oint_L\textbf{A}\cdot\hat{n}dS斯托克斯公式\\ \hat{n}为曲面单位法向量$$

# 常微分方程

# 一阶线性微分方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

例：

$$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{xlnx}y=\frac{1}{x}\\ 先解齐次方程\frac{dy}{dx}+\frac{1}{xlnx}y=0\Rightarrow y=\frac{C}{lnx}\\ 再常数变易，令C=C(x),代入原方程，有\\ C'(x)=\frac{lnx}{x}\Rightarrow C(x)=\frac{1}{2}ln^2x+C\\ 所以原方程解为y=\frac{\frac{1}{2}ln^2x+C}{lnx}$$

# Bernoulli 方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha\\ 同时除以y^\alpha\Rightarrow \frac{1}{y^\alpha}y'+P(x)\frac{1}{y^{\alpha-1}}=Q(x)\\ 令u=\frac{1}{y^{\alpha-1}}\Rightarrow \frac{1}{1-\alpha}\frac{du}{dx}+P(x)u=Q(x)化为一阶线性常微分方程$$

# 高阶微分方程（可降阶）

$$yy''=y'^2\\ 令y'=p\Rightarrow y\cdot p\cdot\frac{dp}{dy}=p^2$$

# 高阶齐次线性微分方程

$$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+...+p_ny^{(0)}=0$$

特征方程为$r^n+p_1r^{n-1}+...+p_n=0$

• 若方程中每有一个 k 重实根，结果中就多一项(C_0+C_1x+...C_{k-1}x^{k-1})e^

• 若方程中每有一对虚根 ($r_1,r_2=\alpha\pm\beta i$)，结果中就多一项(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)e^

最后就是这些结果加起来为y=\sum(C_0+C_1x+...C_{k-1}x^{k-1})e^{rk}+\sum(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)e^

# 高阶非齐次线性方程

$$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+...+p_ny^{(0)}=f(x)$$

可以先解导出齐次方程$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+...+p_ny^{(0)}=0$ 的通解\bar

再找一个非齐次的特解$y^*$

则$y=\bar{y}+y^*$

例：$2y''+y'-y=2e^x$

$$可以猜特解为y=Q(x)e^{\lambda x}\\解得 y=e^x+C_1e^{-x}+C_2e^{\frac{1}{2}x}$$