抽到的 SSR 暑课

# 拓扑空间

# 拓扑空间

# 度量空间

我们用ρ(x,y)\rho(x,y) 表示点xxyy 的距离,当谈到点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}aa 为极限时,都意味着limnρ(xn,a)=0\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0。这里定义的距离的本质上由下列四条基本性质确定:

  • ρ(x,y)0\rho(x,y)\geq 0
  • ρ(x,y)=0x=y\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y
  • ρ(x,y)=ρ(y,x)\rho(x,y)=\rho(y,x)
  • ρ(x,z)ρ(x,y)+ρ(y,z)\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)

我们把这四条性质称为度量公理,其中第四条称为三角不等式

定义

XX 为一非空几何,ρ:X×XR\rho:X\times X\rightarrow \mathbb{R} 为一函数,使得对XX 的任意点总满足度量公理,则ρ\rho 称为XX 上的一个度量,偶(X,ρ)(X,\rho) 称为以ρ\rho 为度量的度量空间。若x,yXx,y\in X,则ρ(x,y)\rho(x,y) 称为x,yx,y 间的距离。

:实数空间的通常度量E1=(R,ρ)E^1=(\mathbb{R},\rho)

ρ(x,y)=xyx,yR\rho(x,y)=|x-y|\quad x,y\in\mathbb{R}

# 度量空间的开集

定义

(X,ρ)(X,\rho) 为度量空间,xX,εx\in X,\varepsilon 为一正数,则称XX 的子集

B(x,ε)={yXρ(y,x)<ε}B(x,\varepsilon)=\{y\in X|\rho(y,x)<\varepsilon\}

为以xx 为中心,ε\varepsilon 为半径的球形邻域,简称xxε\varepsilon- 邻域

命题

B\mathscr{B} 为度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的所有球形邻域组成的族,则

  • X=BBBX=\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B.
  • B1,B2B,xB1B2B_1,B_2\in\mathscr{B},x\in B_1\cap B_2,则存在xx 的一个球形邻域BxB_x,使得xBxB1B2x\in B_x\subset B_1\cap B_2.
  • BB,xBB\in\mathscr{B},x\in B,则存在xx 的球形邻域BxB_x 使得xBxBx\in B_x\subset B.

证明,第一条因为所有的点xx 都属于它自己的球形邻域。第二个画画图能画出来可以取ε=min{ε1ρ(x,x1),ε2ρ(x,x2)}\varepsilon=min\{\varepsilon_1-\rho(x,x_1),\varepsilon_2-\rho(x,x_2)\}。第三条也很简单。

定义

度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的子集AA,如果它是若干(有限或无限)个球形邻域的并,即存在子族B0B\mathscr{B}_0\subset\mathscr{B},使得A=BB0BA=\bigcup_{B\in\mathscr{B}_0}B,则AA 称为开集

根据定义,每个球形邻域自己也是开集。

定理

F\mathscr{F} 为度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的全体开集组成的族,则F\mathscr{F} 满足下列开集公理

  • XFX\in\mathscr{F}.
  • F\emptyset\in\mathscr{F}.
  • O1,O2FO1O2FO_1,O_2\in\mathscr{F}\Rightarrow O_1\cap O_2\in\mathscr{F}.
  • 对任意子族F0F\mathscr{F}_0\subset\mathscr{F}, OF0OF\bigcup_{O\in\mathscr{F}_0}O\in\mathscr{F}.

# 拓扑空间

定义

XX 是集合,F\mathscr{F}XX 的一个子集族,其成员满足开集公理,则称F\mathscr{F} 为集合XX 上的一个拓扑F\mathscr{F} 称为XX开集。集合XX 与它的一个拓扑F\mathscr{F} 组成的偶(X,F)(X,\mathscr{F}) 称为拓扑空间,简称空间XX 的点、子集、开集与拓扑仍分别称为空间(X,F)(X,\mathscr{F}) 的点、子集、开集与拓扑。

任何度量空间都是拓扑空间,F\mathscr{F} 就是全体开集组成的族,被称为度量拓扑。因此nn 维欧氏空间EnE^n 以及 Hilbert 空间EωE^\omega 都是拓扑空间。

XX\neq\emptyset,令F={X,}\mathscr{F}=\{X,\emptyset\}F=2X\mathscr{F}'=2^XXX 的幂集,则不难验证(X,F)(X,\mathscr{F})(X,F)(X,\mathscr{F}') 分别称为集合XX 上的平凡拓扑离散拓扑

X={a,b,c}X=\{a,b,c\},令

F={,{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}\mathscr{F}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}

不难验证F\mathscr{F}XX 的一个拓扑,因此(X,F)(X,\mathscr{F}) 是拓扑空间。

# 拓扑基

我们已经看到,度量空间的球形邻域族B\mathscr{B} 是它的度量拓扑F\mathscr{F} 的子族,而且每一开集可以由B\mathscr{B} 的成员通过并的运算得到。这与向量空间中的向量可以由它的基组成类似。因此我们把B\mathscr{B} 称为F\mathscr{F} 的基。

定义

设集合XX 的一个子集族B={Bα}αΓ\mathscr{B}=\{B_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma} 满足下列两条性质:

  • X=αΓX=\bigcup_{\alpha\in\Gamma}.
  • α,βΓ,xBαBβ\alpha,\beta\in\Gamma,x\in B_\alpha\cap B_\beta, 则存在γΓ\gamma\in\Gamma 使得xBγBαBβx\in B_\gamma\subset B_\alpha\cap B_\beta.

则称B\mathscr{B}XX 的一个拓扑基

命题

B\mathscr{B} 是集合XX 的拓扑基,则XX 的子集AA 是关于B\mathscr{B} 的开集,当且仅当对每一点aAa\in A 存在BaBB_a\in\mathscr{B},使得aBaAa\in B_a\subset A

定理

B\mathscr{B} 是集合XX 的拓扑基,则关于B\mathscr{B} 的开集的全体F\mathscr{F}XX 的一个拓扑,而且BF\mathscr{B}\subset \mathscr{F}。特别,如果B\mathscr{B} 本身是个拓扑,则B=F\mathscr{B}=\mathscr{F}

命题

(X,F)(X,\mathscr{F}) 是拓扑空间,如果XX 的一个子集族BF\mathscr{B}\subset\mathscr{F},使得每个UFU\in\mathscr{F} 都是B\mathscr{B} 中成员的并,则B\mathscr{B}(X,F)(X,\mathscr{F}) 的拓扑基。特别,F\mathscr{F}(X,F)(X,\mathscr{F}) 的拓扑基。

设欧式空间EnE^n 的子集族:B1={B(x,ε)x\mathscr{B}_1=\{B(x,\varepsilon)|x 的坐标是有理数,ε\varepsilon 是正有理数}\}。则B1\mathscr{B}_1EnE^n 的一个拓扑基。

# 关于子集的基本概念

# 闭集

定义

如果XFX-FXX 的开集,则FF 称为XX闭集

定理

C\mathscr{C} 为空间XX 的全体闭集,则它满足闭集公理

  • C\emptyset\in\mathscr{C}.
  • XCX\in\mathscr{C}.
  • C1,C2CC1C2CC_1,C_2\in\mathscr{C}\Rightarrow C_1\cup C_2\in\mathscr{C}.
  • 对任意子族C0C,CC0CC\mathscr{C}_0\subset\mathscr{C},\bigcap_{C\in\mathscr{C}_0}C\in\mathscr{C}.

换言之,对集合XX 上给定的子集族C\mathscr{C},如果它满足闭集公理,则

F={XCCC}\mathscr{F}=\{X-C|C\in\mathscr{C}\}

就成为XX 上的一个拓扑。

# 邻域、内部与闭包

定义

xAx\in A 称为AAXX 中的一个内点,如果存在开集UU 使得xUAx\in U\subset A. 这时我们还说AAxxXX 中的一个邻域。若AA 本身是开集,就说AAxxXX 中的开邻域。 类似地,AA 称为BBXX 中的一个邻域,如果存在开集UU 使得BUAB\subset U\subset AAAXX 中的内点的全体称为AAXX内部,记作A˚\mathring{A}。当AA 是两个以上子集运算的结果时,我们记做(A)(A)^\circ

xx 与子集AA 的位置关系除了上述的内点之外,还有集中重要的位置关系值得注意。

如果点xxXX 中的每个邻域UU 包含A{x}A-\{x\} 的点,即U(A{x})U\cap(A-\{x\})\neq\emptyset,则称xxAAXX 中的一个聚点,当然内点也可能是聚点。AAXX 中的全体聚点称为AA导集,记为Aˊ\acute{A}。我们还把AAˊA-\acute{A} 的点称为AAXX 中的孤立点。子集AAˊA\cup\acute{A} 称为AAXX 中的闭包,记作Aˉ\bar{A}

于是,xAˉx\in\bar{A} 当且仅当对xx 的每个邻域UU 都有UAU\cap A\neq\empty

此外,如果点xxXX 中的每个邻域既含AA 的点,又含XAX-A 的点,则称xxAAXX 中的一个边界点AAXX 中的全体边界点称为AAXX 中的边界,记为A˙\dot{A}

定义

XX 的点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in N} 称为收敛到点aXa\in X,如果对aaXX 中的任意邻域UU,存在正整数mm,使得n>mn>m 时,有xnUx_n\in U。这时也说aa 是点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in N} 的极限(点),记作limnxn=a\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a。如果(X,ρ)(X,\rho) 是度量空间,则不难看出limnxn=a\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a 当且仅当limnρ(xn,a)=0\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0

命题

XA˚=XA,(XA)=XAˉX-\mathring{A}=\overline{X-A},(X-A)^\circ=X-\bar{A}

会发现第二个式子就是第一个式子的直接推论。

根据定义: xXAx\in\overline{X-A}\Leftrightarrowxx 的每个邻域UUU(XA)U\cap(X-A)\neq\emptyset\LeftrightarrowxA˚xXA˚x\notin\mathring{A}\Leftrightarrow x\in X-\mathring{A}

命题

A˚\mathring{A} 是包含在AA 中所有开集的并,Aˉ\bar{A} 是包含AA 的所有闭集的交。

命题

XX 的任意子集A,BA,B

  • A˚AAˉ\mathring{A}\subset A\subset\bar{A}.
  • ABA\subset B,则A˚B˚\mathring{A}\subset\mathring{B},且AˉBˉ\bar{A}\subset\bar{B}.
  • AAXX 中的开集A˚=A\Leftrightarrow \mathring{A}=A
  • AAXX 中的闭集Aˉ=A\Leftrightarrow \bar{A}=A.
  • ((˚A))=A˚,Aˉˉ=Aˉ(\mathring(A))^\circ=\mathring{A},\bar{\bar{A}}=\bar{A}.
  • (AB)=A˚B˚,AB=AˉBˉ(A\cap B)^\circ=\mathring{A}\cap\mathring{B},\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}.

# 连续映射与同胚

# 连续映射及其基本特征

定义

f:XYf:X\rightarrow Y 为空间XX 到空间YY 的一个函数,x0Xx_0\in X,如果对f(x0)Yf(x_0)\in Y 的任意邻域VV,总存在x0x_0 的一个邻域UU 使得f(U)Vf(U)\subset V,则称ff 在点x0x_0连续

ffXX 的每一点连续,则称ffXXYY连续映射,简称映射,当Y=E1Y=E^1,则称映射f:XE1f:X\rightarrow E^1 为连续的(实值)函数。

定理

f:XYf:X\rightarrow Y 是空间XX 到空间YY 的函数,那么以下论断等价:

  • ff 是映射.
  • YY 的任意开集VVf1(V)f^{-1}(V)XX 中的开集.
  • YY 的任意闭集FFf1(F)f^{-1}(F)XX 中的闭集.
  • 对任意AXA\subset Xf(Aˉ)f(A)f(\bar{A})\subset\overline{f(A)}.
  • 对任意BYB\subset Yf1(B)f1(Bˉ)\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\bar{B}).
  • YY 的任意拓扑基的每个成员BBf1(B)f^{-1}(B)XX 的开集.
  • 对任意BYB\subset Yf1(B˚)(f1(B))f^{-1}(\mathring{B})\subset (f^{-1}(B))^\circ.

定理

f:XYf:X\rightarrow Y 是空间XX 到空间YY 的给定函数,若ff 在点xXx\in X 处连续,则对XX 的每个收敛到xx 的点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}},有

limnxn=xlimnf(xn)=f(x)\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)

反之,若对于每个收敛到xx 的点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} 都有limnxn=x\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x,那么ff 在点xx 处连续。

# 映射举例

常值映射e:XYe:X\rightarrow Ye(X)e(X)YY 的独点子集,则ee 为映射。

内射i:AXi:A\rightarrow X,其中AA 是空间XX 的子空间,ii 定义为

i(a)=a,aAi(a)=a,a\in A

ii 为映射。特别地,当A=XA=X 则为恒等映射1:XX1:X\rightarrow X

f:XYf:X\rightarrow Yg:YZg:Y\rightarrow Z 均为映射,那么gf:XZg\circ f:X\rightarrow Z 也是映射。

f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,AAXX 的子空间,由

(fA)(a)=f(a),aA(f|_A)(a)=f(a),a\in A

定义的fA:AYf|_A:A\rightarrow Y 也是映射,称为映射ffAA 上的限制,同时称fffAf|_AXX 上的扩张

f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,BBYY 的子空间,使得f(X)Bf(X)\subset B,则由ff 确定的函数fB:XBf^B:X\rightarrow B:

fB(x)=f(x),xXf^B(x)=f(x),x\in X

也是映射,称为ffBB 中的诱导映射。特别,当B=f(X)B=f(X) 时,fB:Xf(X)f^B:X\rightarrow f(X) 也是映射。

粘接引理

F1,F2,...,FnF_1,F_2,...,F_nXX 的闭子空间,使得X=i=1nFiX=\bigcup_{i=1}^nF_ifi:FiYf_i:F_i\rightarrow Y 为给定映射,i=1,2,...,ni=1,2,...,n 且满足相容条件:

fiFiFj=fjFiFj,1i,jnf_i|_{F_i\cap F_j}=f_j|_{F_i\cap F_j},1\leq i,j\leq n

则由

f(x)=fi(x),xFif(x)=f_i(x),x\in F_i

定义的函数f:XYf:X\rightarrow Y 是映射。我们通常把上述定义写为

fFi=fi,i=1,2,...,nf|_{F_i}=f_i,i=1,2,...,n

# 同胚

S1S^1 是欧式平面(看作复平面)内的单位圆周,X=[0,1)E1X=[0,1)\in E^1。定义指数函数p:XS1p:X\rightarrow S^1

p(x)=e2πix,xXp(x)=e^{2\pi ix},x\in X

不能验证pp 是既单又满的映射。那么我们可以把线段[0,1)[0,1) 和圆周看作同样的图形吗?显然不可以,造成这两个图形差别大(一个是左闭的,一个是两头开的)的原因是p1:S1Xp^{-1}:S^1\rightarrow X 在点(1,0)(1,0) 处不连续。

定义

f:XYf:X\rightarrow Y 是既单又满的映射,且其逆f1:YXf^{-1}:Y\rightarrow X 也是映射,则ff 称为XXYY同胚,记作f:XYf:X\approx Y。如果存在这样的同胚,那么我们也说XXYY 拓扑等价或同胚等价,记作XYX\approx Y

(0,1)E1(0,1)\approx E^1。我们可以定义连续函数f:(0,1)E1f:(0,1)\rightarrow E^1f(t)=tan((t12)π),t(0,1)f(t)=tan((t-\frac{1}{2})\pi),t\in(0,1)。则ff 是同胚映射。

同胚(0,1)S1{(1,0)}(0,1)\approx S^1-\{(1,0)\},其中S1S^1 是欧式平面空间上的单位圆。

定理

拓扑等价(同胚)是一个等价关系:

  • XXX\approx X
  • XYYXX\approx Y\Leftrightarrow Y\approx X
  • XY,YZXZX\approx Y,Y\approx Z\Rightarrow X\approx Z

命题

开集、闭集、闭包、内部与点列的收敛性都是拓扑不变的

确切地说,如果f:XYf:X\approx Y,则UUXX 的开集,当且仅当f(U)f(U)YY 的开集。

如果f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,而且ffXX 中每个开(闭)集映成YY 中的开(闭)集,则称ff开(闭)映射

命题

f:XYf:X\rightarrow Y 是空间XX 到空间YY 的函数,则下列彼此等价:

  • ff 是同胚
  • ff 是既单又满的开映射
  • ff 是既单又满的闭映射

最后,与同胚稍有差别的概念嵌入

定义

如果f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,B=f(X)B=f(X),使得ffBB 中的诱导映射是同胚:

fB:Xf(X)f^B:X\approx f(X)

则称ff嵌入。并且当ff 是嵌入时,我们常常把XXff 的象f(X)f(X) 等同起来,从而把XX 看成YY 的子空间。

命题

f:XY,g:YXf:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X 均为映射,使得合成

gf=1X:XXg\circ f=1_X:X\rightarrow X

ff 为嵌入。

# 紧致性

# 紧致空间

定义

D={Dα}αΓ\mathscr{D}=\{D_\alpha\}_{\alpha\in \Gamma} 是空间XX 的一族子集,AAXX 的子集,使得AαΓDαA\subset\bigcup_{\alpha\in\Gamma}D_\alpha,则称D\mathscr{D}AAXX 中的一个覆盖

如果覆盖D\mathscr{D} 中的每个成员都是开集,则我们称之为AAXX 中的一个开覆盖。若Γ\Gamma 为有限(可数)集合,那么称D\mathscr{D}AAXX 中的一个有限(可数)覆盖

ΛΓ\Lambda\subset\Gamma 使得D0={Dα}αΛ\mathscr{D}_0=\{D_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda},则称D0\mathscr{D}_0D\mathscr{D} 的一个子覆盖,如果A=XA=X,则D\mathscr{D} 称为XX 的覆盖,省略 “在XX 中” 的描述。

拓扑空间(X,F)(X,\mathscr{F}) 中所有开集的族F\mathscr{F} 就是一个开覆盖。同样地,F\mathscr{F} 的拓扑基,所有球形邻域的集合B\mathscr{B} 也是一个开覆盖。

定义

如果空间XX 的任何开覆盖,都有一个有限子覆盖,确切地说,对XX 的任何开覆盖V={Vα}αΓ\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma},存在子族V0={Vα1,...,Vαn}V\mathscr{V}_0=\{V_{\alpha_1},...,V_{\alpha_n}\}\subset\mathscr{V},使得V0\mathscr{V}_0 仍是XX 的覆盖,则称XX紧致拓扑空间

定义

AA 为空间XX 的子集,如果AA 作为子空间是紧致的,则称AAXX紧致子集(紧致子空间)

命题

AA 是空间XX 的子集,则AAXX 的紧致子集当且仅当AAXX 中的任何开覆盖都有有限子覆盖。

Heine-Borel-Lebesgue 定理

E1E^1 的任意闭区间[a,b][a,b] 是紧致子集。

E1E^1 本身并不是紧致的,事实上

U={(n,n)n=1,2,...}\mathscr{U}=\{(-n,n)|n=1,2,...\}

形成了E1E^1 的一个开覆盖,但是U\mathscr{U} 的任意有限子族{(n1,n1),(n2,n2),...,(nk,nk)}\{(-n_1,n_1),(-n_2,n_2),...,(-n_k,n_k)\} 的并并不是E1E^1 的覆盖,即U\mathscr{U} 没有有限子覆盖。

# 紧致空间的性质

命题

紧致空间的连续映射象仍是紧致的。特别,紧致性是拓扑(同胚)不变的。

命题

紧致空间的闭子集总是紧致的。

证明:设CC 是紧致空间XX 的闭子集,U\mathscr{U}CCXX 中的开覆盖,那么U{XC}\mathscr{U}\cup\{X-C\} 就成了XX 的一个开覆盖。

因为XX 是紧致的,故U{XC}\mathscr{U}\cup\{X-C\} 存在一个有限子覆盖。

然后可考虑这个有限子覆盖,去掉XCX-C 后就得到了U\mathscr{U} 的一个有限子覆盖。

Bolzano-Weierstrass 性质

紧致空间的无穷子集必有聚点。

证明:设XX 为紧致空间,我们证明没有聚点的任意子集AA 必为有限集。因Aˊ=\acute{A}=\emptysetAAXX 的闭集,由上个命题有AA 是紧致的。

对每一个点aAa\in A,存在aa 的一个开邻域UaU_a,使得UaA={a}U_a\cap A=\{a\}(因为aa 不是AA 的聚点)

于是就会有开覆盖{Ua}aA\{U_a\}_{a\in A}

又因为AA 是紧致的,故根据定义,其任意一个开覆盖都会有一个有限子覆盖{Ua}aA\{U_a\}_{a\in A'}

而每个UaU_a 中只包含AA 中的一个点,因为子覆盖是有限的,即AA 也是有限的。

# Hausdorff 空间中的紧致性

定义

若空间的任意两个不同点有不相交的邻域,则称之为 Hausdorff 空间,也说它满足T2T_2 公理。

事实上,任意度量空间都是 Hausdorff 空间。

命题

设集合AA 是 Hasudorff 空间XX 的紧致子集,xXAx\in X-A,则xxAA 有互不相交的邻域。从而 Hausdorff 空间的紧致子集总之闭集。

更一般地,Hausdorff 空间中任意两个不相交的紧致子集有不相交的邻域。

命题

紧致 Hausdorff 空间中的子集是紧致的,当且仅当它是闭的。

定义

若空间XX 的任意两个不相交的闭集有不相交的邻域,则称XX正规空间

定理

紧致 Hausdorff 空间是正规空间。

命题

空间XX 是正规的,当且仅当XX 中的每个闭集FF 的任意邻域包含FF 的一个邻域的闭包。

定理

从紧致空间XX 到 Hausdorff 空间YY 既单又满的映射是同胚。

# 度量空间的紧致性

定义

AA 是度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的子集,如果存在正数mm,对任意x,yAx,y\in A,使得ρ(x,y)m\rho(x,y)\leq m 成立,则称AA有界的,否则称AA无界的

空集是约定有界的,对于有界子集AA,我们定义AA 的直径是非负实数

d(A)={0A=supx,yAρ(x,y)Ad(A)=\begin{cases}0&A=\emptyset\\ sup_{x,y\in A}|\rho(x,y)|&A\neq\emptyset \end{cases}

命题

度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的紧致子集AA 总是有界闭集。

推论

紧致空间XXE1E^1 的任何连续函数均有界,而且能在XX 的点达到最大值与最小值。

Lebesgue 引理

V={Vα}αΓ\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma} 是紧致度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的开覆盖,则存在正数λ\lambda(称为开覆盖V\mathscr{V} 的 Lebesgue 数),使得XX 中的直径小于λ\lambda 的任何子集AA 必包含于V\mathscr{V} 的某个成员VαV_\alpha 中。

定理

从紧致度量空间(X,ρ)(X,\rho) 到度量空间(X,ρ)(X',\rho') 的连续映射ff 总是一致连续的,即对于任意正数ε\varepsilon,存在正数δ\delta 使得ρ(x,y)<δρ(f(x),f(y))<ε\rho(x,y)<\delta\Rightarrow\rho'(f(x),f(y))<\varepsilon

# 连通性

# 连通空间

定义

AABB 是空间XX 的非空子集,且(AˉB)(ABˉ)=(\bar{A}\cap B)\cup(A\cap\bar{B})=\empty,则称AABBXX 的一对分离子集。如果XX 不是一对分离子集的并,则称XX连通的,否则称XX 为非连通的。

E1E^1 中的区间(0,1),(1,2)(0,1),(1,2) 就是一对分离区间。因为(0,1)=[0,1]\overline{(0,1)}=[0,1],注意这里是在求闭包加入聚点而不是求补。而(0,1),[1,2)(0,1),[1,2) 就不是分离子集。

实直线E1=(,)E^1=(-\infty,\infty) 是连通空间。

定理

XX 是空间,则下列陈述彼此等价

  • XX 是连通的
  • XX 不是两个不相交非空开集的并
  • XX 不是两个不相交非空闭集的并
  • XX 中只有XX\emptyset 既开又闭
  • 对任意连续函数f:X\rightarrow E^1,f(X)\neq\

# 子集的连通性

定义

空间XX 的子集AA 称为XX连通子集,如果AA 作为XX 的子集是连通的。

命题

连通空间的连续映射象是连通集。

连通性是同胚不变的,即若XYX\approx Y,则XX 连通当且仅当YY 连通。

YY 为空间XX 的子空间,ZYZ\subset Y,则ZZYY 的连通子集当且仅当ZZXX 的连通子集。

引理

YYXX 的非空连通子集,AABBXX 中的一对分离子集,使得YABY\subset A\cup B。则YAY\subset AYBY\subset B

命题

在空间XX 中,设YY 是连通子集,且YY1YˉY\subset Y_1\subset\bar{Y},则Y1Y_1 也是连通的。特别地,若YY 连通,则Yˉ\bar{Y} 也是连通的。

实数轴上任意一个区间都是连通的。事实上。任意一个开区间还与E1E^1 同胚。

命题

YY 是空间XX 的连通子集{Yα}αΓ\{Y_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}XX 的一族连通子集,使得YαYY_\alpha\cap Y\neq\emptyset,对一切αΓ\alpha\in\Gamma 成立。则Y(αΓYα)Y\cup(\bigcup_{\alpha\in\Gamma}Y_\alpha) 仍是连通的。

定义

AA 是空间XX 的连通子集,而且又不是别的连通集的真子集,则称AAXX极大连通子集连通分支

命题

XX 的连通分支总是闭集。不同的连通分支彼此分离。

# 道路连通性

定义

f:IXf:I\rightarrow X 是映射,f(i)=xi,i=0,1f(i)=x_i,i=0,1。则称ffXX 中连接x0x_0x1x_1道路x0,x1x_0,x_1 分别称为道路的起点终点

如果XX 中任意两点都有XX 中道路连接,则称XX道路连通的

而映射fˉ(t)=f(1t)\bar{f}(t)=f(1-t) 则被称为ff逆道路

欧式空间中的子集XX 称为凸集如果对任意x,yXx,y\in X 由点xxyy 确定的闭线段

[x,y]={(1t)x+tytI}[x,y]=\{(1-t)x+ty|t\in I\}

整个包含于XX

现在,我们证明凸集XX 是道路连通的。定义f(t)=(1t)x+tyf(t)=(1-t)x+ty 易见f(I)Xf(I)\subset X,并且ff 是连续的,从而ff 是道路。

命题

σ,τ\sigma,\tauXX 中的道路,使得

σ(1)=y=τ(0)\sigma(1)=y=\tau(0)

则由下式

(στ)(t)={σ(2t)0t12τ(2t1)12t1(\sigma*\tau)(t)=\begin{cases}\sigma(2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \tau(2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}

定义的στ:IX\sigma*\tau:I\rightarrow X 是从σ(0)=x\sigma(0)=xσ(1)=z\sigma(1)=z 的道路。称为σ\sigmaτ\tau

命题

道路连接空间的连续映射象仍是道路连通的。特别地,道路连通性是拓扑不变的。

定义

AA 是空间XX 的道路连通子集,又不是别的道路连通子集的真子集,则称AAXX极大道路连通子集道路连通分支

命题

空间的每个非空道路连通子集恰包含于一个道路的连通分支中。每个空间都是互不相交的道路连通分支的并。

考虑这样一个点集X=YZX=Y\cup Z:

Y={(0,t)E21t1}Z={(x,sinπx)E20<x1}Y=\{(0,t)\in E^2|-1\leq t\leq 1\}\\ Z=\{(x,sin\frac{\pi}{x})\in E^2|0<x\leq 1\}

它是连通的,但不是道路连通的。

E1E^1E2E^2 是不同胚的。

# 乘积空间

# 乘积空间与乘积拓扑

命题

EnE^n 的子集族

B={U1×U2×U3×...×Un}\mathscr{B}=\{U_1\times U_2\times U_3\times...\times U_n\}

其中UiU_iE1E^1 的开集。那么该子集族是EnE^n 的一个拓扑基。

这个想以下,本质上就是nn 维欧氏空间的坐标是nn 个一维空间的直积。

定义

对给定的nn 个拓扑空间(Xi,Fi)(X_i,\mathscr{F}_i),选取点集的直积X=X1×...×XnX=X_1\times...\times X_n 的子集族:

B={U1×...×UnUiFi}\mathscr{B}=\{U_1\times...\times U_n|U_i\in\mathscr{F}_i\}

是集合XX 的一个拓扑基,被称为乘积拓扑XiX_i 被称为拓扑积XX 的第 i 个坐标(因子)空间

圆周S1S^1 与单位区间II 的拓扑积是以S1S^1 为准线,II 为母线的圆柱侧面,如下图:

1

然后可以考虑VVII 上的一个开集,UUS1S^1 上的一个开集,那么U×VU\times V 就是拓扑积S1×IS^1\times I 上的一个开集。

S1×{0}S^1\times\{0\}S1×{1}S^1\times\{1\} 分别是上个例子中圆柱的上底面和下底面。

环面是两个圆周S1S^1 的拓扑积:

2

整个环面上的点都可以用两个实数坐标确定。实际上,作为欧氏空间E3E^3 的子空间,它与E1×E1E^1\times E^1 是同胚的。

# 积空间的连续性

首先,我们描述坐标空间与积空间之间的映射,令

p1:X×YX,p2:X×YYp_1:X\times Y\rightarrow X,p_2:X\times Y\rightarrow Y

分别表示拓扑积X×YX\times Y 到第一个坐标空间XX 和第二个坐标空间YY 的投影。设x0,y0x_0,y_0 分别是X,YX,Y 中的给定点,还可以定义

i1(x)=(x,y0),i2(y)=(x0,y)i_1(x)=(x,y_0),i_2(y)=(x_0,y)

命题

投影p1p_1p2p_2 为满的开映射。

i1,i2i_1,i_2 均为映射,且分别把XXYY 嵌入X×YX\times Y 为子空间X×{y0}X\times\{y_0\}{x0}×Y\{x_0\}\times Y

例如实数轴E1E^1 可以嵌入欧式平面E2E^2 成为平行于坐标轴的直线。

下面这个命题讨论了任意空间ZZ 到拓扑积空间X×YX\times Y 的函数f:ZX×Yf:Z\rightarrow X\times Y 在什么情况下连续的问题,它使得我们把问题简化为验证每个坐标函数是否连续。

命题

函数f:ZX×Yf:Z\rightarrow X\times Y 连续,当且仅当坐标函数

p1f:ZX,p2f:ZYp_1\circ f:Z\rightarrow X,p_2\circ f:Z\rightarrow Y

均连续。

然而,如果有函数是从积空间到另一个空间f:X×YZf:X\times Y\rightarrow Z,而fi1f\circ i_1fi2f\circ i_2x0,y0x_0,y_0 处均连续,并不能推出ff(x0,y0)(x_0,y_0) 处连续。反例:

f(x,y)={xyx2+y2(x,y)00(x,y)=0f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}&(x,y)\neq 0\\0&(x,y)=0\end{cases}

(0,0)(0,0) 处有(fi1)=f(x,0),(fi2)=f(0,y)(f\circ i_1)=f(x,0),(f\circ i_2)=f(0,y) 都是单独分别连续的,但是ff(0,0)(0,0) 处并不连续。因为可以沿着y=kxy=kx 这条线逼近原点,此时f(x,kx)k1+k2f(x,kx)\equiv \frac{k}{1+k^2} 不为 0。

命题

fi:XiYif_i:X_i\rightarrow Y_i 为映射,则可以定义

(f1×f2)(x1,x2)=(f1(x1),f2(x2))(f_1\times f_2)(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2))

f1×f2:X1×X2Y1×Y2f_1\times f_2:X_1\times X_2\rightarrow Y_1\times Y_2 也是映射,称为f1f_1f2f_2拓扑积。由此可得

X1Y1,X2Y2X1×X2Y1×Y2X_1\approx Y_1,X_2\approx Y_2\Rightarrow X_1\times X_2\approx Y_1\times Y_2

# 有限可积性质

定义

如果有限个拓扑空间X1,...,XnX_1,...,X_n 具有性质PP,能够推出积空间X1×...×XnX_1\times...\times X_n 也有性质PP,那么称PP有限可积性质

命题

X×YX\times Y 是 Hausdorff 空间,当且仅当X,YX,Y 均为 Hausdorff 空间。

X×YX\times Y 是连通空间,当且仅当X,YX,Y 均为连通空间。

X×YX\times Y 是道路连通空间,当且仅当X,YX,Y 均为道路连通空间。

X×YX\times Y 是紧致的,当且仅当X,YX,Y 均为紧致的。

命题

aX,Ba\in X,BYY 的紧致子集,WW{a}×B\{a\}\times BX×YX\times Y 中的邻域。则存在XXYY 的开集U,VU,V 使得{a}×BU×VW\{a\}\times B\subset U\times V\subset W

最后,我们指出EnE^n 内有界闭集与紧致性的等价性:

EnE^n 的子集是紧致的,当且仅当它是有界闭集。

# 粘合空间

# 粘合拓扑

在这里可以先考虑一个例子,这个例子很好地说明了同胚空间的用处。考虑下图所示平面双摆

3

我们可以用(φ,ψ)(\varphi,\psi) 唯一地确定摆锤的一个位置,而且特别地,(φ+2nπ,ψ+2mπ)(\varphi+2n\pi,\psi+2m\pi)(φ,ψ)(\varphi,\psi) 对应同一个位置。因此我们考虑用一个边长为2π2\pi 的正方形,同时粘合两组对边组成的一个环面来描述摆锤的位置。

4

而同胚的概念,就可以形象地理解为,相近的摆锤的位置对应的点,在环面上也是相近的。

定义

(X,F)(X,\mathscr{F}) 为拓扑空间,\sim 是集合XX 中的一个等价关系,p:XX/p:X\rightarrow X/\simXX 到商集X/X/\sim 的自然投射,那么定义商集X/X/\sim 的子集族:

H={WX/p1(W)F}\mathscr{H}\sim=\{W\subset X/\sim|p^{-1}(W)\in\mathscr{F}\}

H\mathscr{H}\sim 是商集X/X/\sim 上的拓扑,称为F\mathscr{F} 关于等价关系\sim粘合拓扑(商拓扑)(X/,H)(X/\sim,\mathscr{H}\sim) 称为(X,F)(X,\mathscr{F}) 关于等价关系\sim粘合空间(商空间)

自然映射p:XX/p:X\rightarrow X/\sim 是满映射,称为粘合映射

更一般地,如果p:XYp:X\rightarrow Y 是满映射,使得YY 的子集WW 是开集当且仅当p1(W)p^{-1}(W)XX 的开集,则我们把这样的pp 称为粘合映射,YY 的拓扑称为ppYY诱导的粘合拓扑

命题

p:XYp:X\rightarrow Y 为粘合映射,f:XZf:X\rightarrow Z 为映射,使得对任意yYy\in Yf[p1(y)]f[p^{-1}(y)]ZZ 的独点集,即fp1f\circ p^{-1} 为函数,则函数fp1:YZf\circ p^{-1}:Y\rightarrow Z 是连续映射,且gp=fg\circ p=f,这可以标识为以下交换图:

5

命题

f:XYf:X\rightarrow Y 为粘合映射,KK 为紧致的 Hausdorff 空间,则ff 与恒等映射1K1_K 的拓扑积f×1K:X×KY×Kf\times 1_K:X\times K\rightarrow Y\times K 为粘合映射。

# 例子

AA 为空间XX 的子集,定义XX 上的等价关系为,AA 中的点相互等价,XAX-A 中的点互不等价,即只跟自己等价。如此得到的空间X/X/\sim 记作X/AX/A,形象化地理解为 “把AA 中的点捏成一个点”。

譬如I/{0,1}I/\{0,1\} 可以看作把单位区间两端捏在一起而成,并且I/{0,1}S1I/\{0,1\}\approx S^1。一般地,有

In/I˙nBn/Sn1SnI^n/\dot{I}^n\approx B^n/S^{n-1}\approx S^n

例(莫比乌斯带)

E2E^2 内的长方形X=[0,8]×[0,1]X=[0,8]\times[0,1] 开始,定义XX 中的等价关系为:(0,y)(8,1y),yI(0,y)\sim(8,1-y),y\in I,此外每个点与自己等价。所得的粘合空间就为莫比乌斯带。

例(克莱因瓶)

E2E^2 内的正方形X=I2X=I^2 开始,定义XX 中的等价关系为(0,y)(1,y),yI;(x,0)(1x,1),xI(0,y)\sim(1,y),y\in I;(x,0)\sim(1-x,1),x\in I,此外每个点都与自己等价。所得空间为克莱因瓶。相比于环面,在把正方形卷成圆柱后,克莱因瓶是把上下底面方向相反地粘在一起,导致必然会有曲面相交。

# 基本群

# 映射的同伦与空间的同伦型

# 映射的同伦

定义

f0,f1:XYf_0,f_1:X\rightarrow Y 是两个映射,如果存在连续映射H:X×IYH:X\times I\rightarrow Y 使得

H(x,t)=ft(x),xX,t=0,1H(x,t)=f_t(x),x\in X,t=0,1

就说f0f_0 同伦f1f_1,记作f0Hf1:XYf_0\stackrel{H}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y,或简记为f0Hf1f_0\stackrel{H}{\simeq}f_1,甚至记为f0f1f_0\simeq f_1。其中HH 称为f0f_0f1f_1 的一个同伦伦移

理解同伦关系可以把tt 理解为时间,把映射理解为空间路径。即可以在一定时间内,从形状 1,连续地变化为形状 2。

CC 为欧氏空间内的一个凸集,f,gf,g 是任意空间到CC 的映射,定义H:X×ICH:X\times I\rightarrow C

H(x,t)=(1t)f(x)+tg(x)H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)

HHffgg 的一个同伦。特别地,若gg 是常值映射,则ff 同伦于常值映射,被称为是零伦的,写作f0f\simeq 0

定理

同伦关系\simeqYXY^X 上的等价关系。

证明:自反性,可以构造H(x,t)f(x)H(x,t)\equiv f(x),则fHff\stackrel{H}{\simeq}f

对称性,可构造同伦的逆Hˉ(x,t)=H(x,1t)\bar{H}(x,t)=H(x,1-t),即时间倒流的形变。

传递性,可以先进行形变 1,再进行形变 2,即:

H(x,t)={H1(x,2t)0t12H2(x,2t1)12t1H(x,t)=\begin{cases}H_1(x,2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ H_2(x,2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}

考虑粘接引理,它是一个连续映射。故证毕。

引理

f0f1:XY,g0g1:YZf_0\simeq f_1:X\rightarrow Y,g_0\simeq g_1:Y\rightarrow Zg0f0g1f1:XZg_0\circ f_0\simeq g_1\circ f_1:X\rightarrow Z

# 空间的同伦型

定义

若有映射f:XYf:X\rightarrow Yg:YXg:Y\rightarrow X 使得gf=1X,fy=1Yg\circ f=1_X,f\circ y=1_Y,则称映射ff 为从XXYY同伦等价gg 称为ff同伦逆,并且也说XXYY同伦等价的,或说XXYY 有相同的同伦型,记作f:XYf:X\simeq Y

在同伦等价映射下保持不变的性质被称为同伦不变性质

定理

同伦关系\simeq 是拓扑空间上的等价关系。

欧式空间的凸集与独点空间有相同的同伦型。事实上,若XX 是凸集,aXa\in X,令i:{a}Xi:\{a\}\hookrightarrow X 是内射,r:X{a}r:X\rightarrow\{a\} 是常值映射,则有ri=1{a}r\circ i = 1_{\{a\}}

又由于任意空间到欧氏空间凸集的映射都是同伦的(见前例),故有ri1Xr\circ i\simeq 1_X

n1n\geq 1En{O}Sn1E^n-\{O\}\simeq S^{n-1}。可以定义

i:Sn1En{O},i(x)=xr:En{O}Sn1,r(x)=xxi:S^{n-1}\rightarrow E^n-\{O\},i(x)=x\\ r:E^n-\{O\}\rightarrow S^{n-1},r(x)=\frac{x}{||x||}\\

于是有ri=1Sn1r\circ i=1_{S^{n-1}}。那么考虑证明ir1En{O}i\circ r\simeq 1_{E^n-\{O\}}

H:(En{O})×IEn{O}H(x,t)=tx+(1t)xxH:(E^n-\{O\})\times I\rightarrow E^n-\{O\}\\ H(x,t)=tx+(1-t)\frac{x}{||x||}

在二维情况下,可以理解为运动趋势:

6

这里也可以理解为什么要挖去原点。因为尽管可以构造H(0,t)H(0,t) 向某个方向移动,但一定会导致在x=0x=0 处不是连续的。

定义

AAXX 的子空间,i:AXi:A\hookrightarrow X 表示内射,如果存在映射r:XAr:X\rightarrow A,使得ri=1Ar\circ i=1_A,则rr 称为XXAA保核收缩(映射)AA 称为XX收缩核

如果除此之外还有同伦1XHir1_X\stackrel{H}{\simeq}i\circ r,则HH 称为XXAA 的一个形变收缩AA 称为XX形变收缩核

假如同伦还满足条件aA,tI,H(a,t)=a\forall a\in A,t\in I,H(a,t)=a,则称HHXXAA 的一个强形变收缩AA 称为XX强形变收缩核

# 零伦与可缩空间

定义

与独点空间同伦型相同的空间称为可缩的

命题

考虑一种锥形。对任意空间XX,粘合空间X×I/X×{1}X\times I/X\times\{1\} 被称为XX 上的锥形,记作CXCX。对应x[x,0]x\rightarrow [x,0]XX 嵌成锥形CXCX 的闭子空间,称为CXCX 的底,X×{1}X\times\{1\} 的粘合象称为CXCX 的顶点。

这样的锥形都是可缩的。

同时,f0f\simeq 0 当且仅当ff 可以扩张到锥形上。

命题

以下短语等价

  • XX 可缩
  • 1X01_X\simeq 0
  • 对任意空间YY 和映射f:XY,f0f:X\rightarrow Y,f\simeq 0
  • 对任意空间ZZ 和映射g:ZX,g0g:Z\rightarrow X,g\simeq 0
  • XX 是锥形CXCX 的收缩核

# 相对同伦

AA 是空间XX 的子集,则有序偶(X,A)(X,A) 称为空间偶。又若f:XYf:X\rightarrow Y 把子集AA 映射到YY 的子集BB,则我们把它记为

f:(X,A)(Y,B)f:(X,A)\rightarrow(Y,B)

称为空间偶到空间偶的映射。若f:(X,A)(Y,B),g:(Y,B)(X,A)f:(X,A)\rightarrow (Y,B),g:(Y,B)\rightarrow(X,A) 均为映射,使得gf=1X,fg=1Yg\circ f=1_X,f\circ g=1_Y,则称ff 为空间偶的同胚,记作

f:(X,A)(Y,B)f:(X,A)\approx (Y,B)

F:X×IYF:X\times I\rightarrow Y 是同伦,使得F(A×I)BF(A\times I)\subset B,则记作F:(X×I,A×I)(Y,B)F:(X\times I,A\times I)\rightarrow(Y,B)F:(X,A)×I(Y,B)F:(X,A)\times I\rightarrow (Y,B),称为空间偶(X,A)(X,A)(Y,B)(Y,B) 间的同伦。

又若

F(X,0)=f0(x),F(x,1)=f1(x)F(X,0)=f_0(x),F(x,1)=f_1(x)

则称FF 是偶的映射f0f_0f1f_1 的同伦,记作

f0Ff1:(X,A)(Y,B)f_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:(X,A)\rightarrow(Y,B)

更进一步,如果

aA,tI,F(a,t)=f0(a)=f1(a)\forall a\in A,t\in I,F(a,t)=f_0(a)=f_1(a)

则称为相对于AAf0f_0 同伦于f1f_1 记作f0Ff1:XY  rel  Af_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y\;rel\;A

# 基本群的定义

# 道路类的积

首先,显然地,道路的积并不满足结合律,因为它并不是三等分,而是 1/4,1/4,1/2 这样合成的三条路。

为了解决这个问题,用rel  I˙rel\;\dot{I} 的同伦类来代替道路:

定义

f0,f1:IXf_0,f_1:I\rightarrow X 是两条道路,使得f0i=f1if_0|_i=f_1|_if0(0)=f1(0),f0(1)=f1(1)f_0(0)=f_1(0),f_0(1)=f_1(1)。如果f0f1:IX  rel  I˙f_0\simeq f_1:I\rightarrow X\;rel\;\dot{I},则称f0f_0f1f_1等价的道路。记作f0.f1f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1,仍用[f0][f_0] 表示f0f_0 所在的等价类,称为f0f_0道路类

根据定义,f0.f1f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1 意味着有一个映射F:I×IXF:I\times I\rightarrow X 使得

F(t,0)=f0(t),F(t,1)=f1(t)F(0,s)=f0(0),F(1,s)=f0(1)F(t,0)=f_0(t),F(t,1)=f_1(t)\\ F(0,s)=f_0(0),F(1,s)=f_0(1)

直观意义如图

7

可以看作FF 把一个单位正方形,连续地映射到了一个纺锤形。

XXEnE^n 中的凸集,x0,x1X,α,βx_0,x_1\in X,\alpha,\betaXX 中从x0x_0x1x_1 的两条道路,则α.β\alpha\stackrel{.}{\simeq}\beta。定义的H:I×IXH:I\times I\rightarrow X

H(t,s)=(1s)α(t)+sβ(t)H(t,s)=(1-s)\alpha(t)+s\beta(t)

引理

f0.f1,g0.g1,f0(1)=g0(0)f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1,g_0\stackrel{.}{\simeq}g_1,f_0(1)=g_0(0),则f0g0.f1g1f_0*g_0\stackrel{.}{\simeq}f_1*g_1

证明如图

8

引理

α,β,γ\alpha,\beta,\gammaXX 中的三条路,满足α(1)=β(0),β(1)=γ(0)\alpha(1)=\beta(0),\beta(1)=\gamma(0),则有([α][β])[γ]=[α]([β][γ])([\alpha][\beta])[\gamma]=[\alpha]([\beta][\gamma])

证明:首先,按定义有

((αβ)γ)(t)={α(4t),0t14β(4t1),14t12γ(2t1),12t1(α(βγ))(t)={α(2t),0t12β(4t2),12t34γ(4t3),34t1((\alpha*\beta)*\gamma)(t)=\begin{cases} \alpha(4t),&0\leq t\leq\frac{1}{4}\\ \beta(4t-1),&\frac{1}{4}\leq t\leq \frac{1}{2}\\ \gamma(2t-1),&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}\\ (\alpha*(\beta*\gamma))(t)=\begin{cases} \alpha(2t),&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \beta(4t-2),&\frac{1}{2}\leq t\leq \frac{3}{4}\\ \gamma(4t-3),&\frac{3}{4}\leq t\leq 1 \end{cases}

然后怎么构造同伦H:I×IXH:I\times I\rightarrow X 呢?可以分析图

9

理解一下这个图,正方形的上边,即s=1s=1 时,有H(t,1)=(α(βγ))(t)H(t,1)=(\alpha*(\beta*\gamma))(t)。即上边对应了(α(βγ))(\alpha*(\beta*\gamma)) 这条道路,也可以看到α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 分别占tt 方向横坐标的边长为1/2,1/4,1/41/2,1/4,1/4

然后正方形的下边,即s=0s=0,则很显然是()(αβ)γ)()(\alpha*\beta)*\gamma) 这条路。

那么我们得想办法构造一个连续的变化过程,从 “走 1/2 的α\alpha,走 1/4 的β\beta,走 1/4 的γ\gamma” 变化到 “走 1/4 的α\alpha,走 1/4 的β\beta,走 1/2 的γ\gamma

而随着ss 的变化,就是道路的变化。对于任给一个ss,我们需要观察α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 分别应该走多少比例。

可以构造出:

H(t,s)={α(4t1+s),0t1+s4β(4ts1),1+s4t2+s4γ(4ts22s),2+s4t1H(t,s)=\begin{cases} \alpha(\frac{4t}{1+s}),&0\leq t\leq\frac{1+s}{4}\\ \beta(4t-s-1),&\frac{1+s}{4}\leq t\leq\frac{2+s}{4}\\ \gamma(\frac{4t-s-2}{2-s}),&\frac{2+s}{4}\leq t\leq 1 \end{cases}

即前1+s4\frac{1+s}{4}α\alpha 走完,再在14\frac{1}{4} 内把β\beta 走完,再在2s4\frac{2-s}{4} 内把γ\gamma 走完。

# 基本群的构成

引理

[eα(0)][α]=[α]=[α][eα(1)][e_{\alpha(0)}][\alpha]=[\alpha]=[\alpha][e_{\alpha(1)}]

其中,exe_x 表示f(t)xf(t)\equiv x 的常值映射,即单点道路。

[α][αˉ]=[eα(0)],[αˉ][α]=[eα(1)][\alpha][\bar{\alpha}]=[e_{\alpha(0)}],[\bar{\alpha}][\alpha]=[e_{\alpha(1)}]

其中,αˉ\bar{\alpha} 表示α\alpha 的逆道路。

在空间XX 中,选取一个基点xx,所有XX 中起点和终点均为xx 的闭路的集合记作Ω(X,x)\Omega(X,x)。其中的道路彼此都可以作道路积。

集合Ω(X,x)\Omega(X,x) 按前述等价关系分成等价类,即闭路的等价类,称为闭路类,所有这种闭路类的集合记作π1(X,x)\pi_1(X,x)

定理

在道路类的积这种运算下,集合π1(X,x0)\pi_1(X,x_0) 是一个群,称为空间XX 以基点x0x_0 为基点的基本群

# 基点的改变

x0,x1x_0,x_1 是空间XX 中的两个点,分别取它们作为基点,则得到了两个群π1(X,x0),π2(X,x1)\pi_1(X,x_0),\pi_2(X,x_1),它们是彼此同构的!

考虑用XX 中的一条道路ω:IX\omega:I\rightarrow X 连接x0,x1x_0,x_1 两点,使得ω(0)=x0,ω(1)=x1\omega(0)=x_0,\omega(1)=x_1,下面利用ω\omega 作出一个同构

[ω]#:π1(X,x1)π2(X,x0)[\omega]_\#:\pi_1(X,x_1)\cong \pi_2(X,x_0)

我们需要定义:

[ω]#([a])=[ω][a][ωˉ],[a]π1(X,x1)[\omega]_\#([a])=[\omega][a][\bar{\omega}],[a]\in\pi_1(X,x_1)

下面来证明它是个同态映射:

[ω]#([α][β])=[ω]([α][β])[ωˉ]=[ω][α][ex1][β][ωˉ]=[ω][α][ω][ωˉ][β][ω]=([ω][α][ω]ˉ)([ω][β][ω])=[ω]#([α])[ω]#([β])[\omega]_\#([\alpha][\beta])=[\omega]([\alpha][\beta])[\bar{\omega}]\\ =[\omega][\alpha][e_{x_1}][\beta][\bar{\omega}]\\ =[\omega][\alpha][\omega][\bar{\omega}][\beta][\omega]\\ =([\omega][\alpha][\bar{\omega]})([\omega][\beta][\omega])\\ =[\omega]_\#([\alpha])[\omega]_\#([\beta])

其中,[ex1][e_{x_1}]π1(X,x1)\pi_1(X,x_1) 中的单位元。

下面证明它既单又满:

ω,σ\omega,\sigma 都是XX 中的道路,满足ω(0)=x0,ω(1)=x1=σ(0),σ1=x2\omega(0)=x_0,\omega(1)=x_1=\sigma(0),\sigma_1=x_2。考虑道路类[ωσ][\omega*\sigma] 定义的同态[ωσ]#π1(X,x2)π1(X,x0)[\omega*\sigma]_\#:\pi_1(X,x_2)\rightarrow\pi_1(X,x_0)

可以证明[ωσ]#=[ω]#[σ]#[\omega*\sigma]_\#=[\omega]_\#\circ[\sigma]_\#

[ωσ]#([α])=[ωσ][α][ωσ]=[ωσ][α][σˉωˉ]=([ω][σ])[α]([σˉ][ωˉ])=[ω]([σ][α][σˉ])[ωˉ]=[ω][σ]#[α][ωˉ]=[ω]#[σ]#[α][\omega*\sigma]_\#([\alpha])=[\omega*\sigma][\alpha][\overline{\omega*\sigma}]\\ =[\omega*\sigma][\alpha][\bar{\sigma}*\bar{\omega}]\\ =([\omega][\sigma])[\alpha]([\bar{\sigma}][\bar{\omega}])\\ =[\omega]([\sigma][\alpha][\bar{\sigma}])[\bar{\omega}]\\ =[\omega][\sigma]_\#[\alpha][\bar{\omega}]\\ =[\omega]_\#\circ[\sigma]_\#[\alpha]

有了这个性质,我们可以取σ=ωˉ\sigma=\bar{\omega},于是就会有:

[ω]#[ωˉ]#=1π1(X,x0)[ωˉ]#[ω]#=1π1(X,x0)[\omega]_\#\circ[\bar{\omega}]_\#=1_{\pi_1(X,x_0)}\\ [\bar{\omega}]_\#\circ[\omega]_\#=1_{\pi_1(X,x_0)}

由此可以推出[ω]#[\omega]_\#是个既单又满的映射√。

因此π1(X,x0)π1(X,x1)\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X,x_1)

定理

ω\omega 是道路连通空间XX 中的道路,ω(0)=x0,ω(1)=x1\omega(0)=x_0,\omega(1)=x_1,则[ω][\omega] 确定了一个同构,它不依赖于代表元ω\omega 的选取:

[ω]#:π1(X,x1)π1(X,x0)[\omega]_\#:\pi_1(X,x_1)\cong\pi_1(X,x_0)

独点空间的基本群是平凡群(通常记为 0)。事实上,从II 到独点空间的映射是唯一的(道路唯一),从而基本群只有一个元素,即平凡群。

# 基本群的计算实例

# 基本群是同伦型不变量

f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,x0Xx_0\in Xy0=f(x0)Yy_0=f(x_0)\in Y 分别选作空间XXYY 的基点以后把这种映射记为f:(X,x0)(Y,y0)f:(X,x_0)\rightarrow (Y,y_0) 并称之为保基点的。

于是我们可以得到一个自然的同态f#:π1(X,x0)π1(X,x1)f_\#:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(X,x_1)

f#[α]=[fα]f_\#[\alpha]=[f\circ\alpha]

实际上有

f(αβ)=(fα)(fβ)f\circ(\alpha*\beta)=(f\circ\alpha)*(f\circ\beta)

故为同态。

此外还有(fg)#=f#g#(f\circ g)_\#=f_\#\circ g_\#

定理

X,YX,Y 均为道路连通空间,且f:XYf:X\simeq Y,则

f#:π1(X,x0)π2(Y,f(x0))f_\#:\pi_1(X,x_0)\cong\pi_2(Y,f(x_0))

其中f#([α])=[fα]f_\#([\alpha])=[f\circ\alpha]

该定理说明,基本群是道路连通空间的同伦不变量√。

# S1S^1 的基本群

考虑指数函数p:E1S1p:E^1\rightarrow S^1

p(t)=e2πit,tE1p(t)=e^{2\pi it},t\in E^1

它的作用实际上是 “把实数轴绕在S1S^1 圆周上 “,而且每个长度为11 的区间[a,a+1][a,a+1] 都正好在圆周上绕了一圈。

命题

pp 是上述指数函数,则有

  • p(t1+t2)=p(t1)p(t2)p(t_1+t_2)=p(t_1)\cdot p(t_2)

  • p^{-1}(1)=\mathbb

  • p(12,12)(12,12)S1{1}p_{(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\approx S^1-\{-1\}

定义

σ:IS1\sigma:I\rightarrow S^1σ~:IE1\tilde{\sigma}:I\rightarrow E^1 分别是S1S^1E1E^1 中的道路,使得σ=pσ~\sigma=p\circ\tilde{\sigma},则称σ~\tilde{\sigma} 为道路σ\sigmaσ~(0)\tilde{\sigma}(0) 处的提升(道路)

F:I×IS1F:I\times I\rightarrow S^1F~:I×IE1\tilde{F}:I\times I\rightarrow E^1 分别是IIS1S^1E1E^1 的同伦(可以看作是道路间的同伦),使得F=pF~F=p\circ\tilde{F},那么称F~\tilde{F} 为同伦FFF~(0,0)\tilde{F}(0,0) 处的提升(同伦)

11

提升引理

σ:IS1\sigma:I\rightarrow S^1 是以11 为起点的一条道路,则σ\sigma00 处有唯一的提升道路σ~:IS1\tilde{\sigma}:I\rightarrow S^1

F:I×IS1F:I\times I\rightarrow S^1 是同伦使得F(0,0)=1F(0,0)=1,则FF00 处有唯一的提升同伦F~:I×IE1\tilde{F}:I\times I\rightarrow E^1

现在,对于任意αΩ(S1,1)\alpha\in\Omega(S^1,1),在0E10\in E^1 处可唯一地提升为α~:IE1\tilde{\alpha}:I\rightarrow E^1 使得α~(0)=0\tilde{\alpha}(0)=0,且α~(1)p1(1)=Z\tilde{\alpha}(1)\in p^{-1}(1)=\mathbb{Z}

我们把正数α~(1)\tilde{\alpha}(1) 称为闭路α\alpha度数,记作deg  αdeg\;\alpha。如果deg  αdeg\;\alpha 是正整数,则可以理解为α\alphaS1S^1 中从11 出发,可能顺时针,逆时针交替,总之最后相当于逆时针旋转了deg  αdeg\;\alpha 圈后回到了11。当然,deg  αdeg\;\alpha 是负的话,就是顺时针旋转了几周。

αFα  rel  I˙\alpha\stackrel{F}{\simeq}\alpha'\;rel\;\dot{I},则F(0,0)=1F(0,0)=1,由同伦提升引理,FF00 处有唯一的提升F~\tilde{F}。并且α~(t)=F~(t,0)\tilde{\alpha}(t)=\tilde{F}(t,0)α~(t)=F~(t,1)\tilde{\alpha'}(t)=\tilde{F}(t,1) 所确定的道路α~,α~\tilde{\alpha},\tilde{\alpha'} 恰好是道路α,α\alpha,\alpha' 的提升。

而道路σ~(t)=F~(0,t),τ~(t)=F~(1,t)\tilde{\sigma}(t)=\tilde{F}(0,t),\tilde{\tau}(t)=\tilde{F}(1,t) 所确定的道路σ~,τ~\tilde{\sigma},\tilde{\tau} 恰是常值道路eα(0),eα(1)e_{\alpha(0)},e_{\alpha(1)} 的提升,根据提升引理,可知σ~,τ~\tilde{\sigma},\tilde{\tau} 也是常值道路

画个图表示下:

12

定理

有同构deg:π1(S1,1)Zdeg:\pi_1(S^1,1)\cong\mathbb{Z},其中deg([α])=deg  α,[α]π1(S1,1)deg([\alpha])=deg\;\alpha,[\alpha]\in\pi_1(S^1,1)

注意到,若α.α\alpha\stackrel{.}{\simeq}\alpha',有deg  α=deg  αdeg\;\alpha=deg\;\alpha'

证明:

考虑deg  α=n,deg  β=mdeg\;\alpha=n,deg\;\beta=m,则有α~(1)=n,β~(1)=m\tilde{\alpha}(1)=n,\tilde{\beta}(1)=m。定义一个新道路:

γ~(t)={α~(2t)0t12α~(1)+β~(2t1)12t1\tilde{\gamma}(t)=\begin{cases} \tilde{\alpha}(2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \tilde{\alpha}(1)+\tilde{\beta}(2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}

易见pγ~=αβp\circ\tilde{\gamma}=\alpha*\beta,而γ~(0)=0\tilde{\gamma}(0)=0,故γ~\tilde{\gamma}αβ\alpha*\beta00 处的提升。

deg  γ~=γ~(1)=n+mdeg\;\tilde{\gamma}=\tilde{\gamma}(1)=n+m,故deg  [α][β]=deg  (αβ)=n+m=deg  [α]+deg  [β]deg\;[\alpha][\beta]=deg\;(\alpha*\beta)=n+m=deg\;[\alpha]+deg\;[\beta]

degdeg 是同态映射。

其次,对任意整数nZn\in\mathbb{Z},可定义σΩ(S1,1)\sigma\in\Omega(S^1,1)

σ(t)=e2πnit,tI\sigma(t)=e^{2\pi nit},t\in I

deg  [σ]=ndeg\;[\sigma]=n。事实上,由

σ~(t)=nt,tI\tilde{\sigma}(t)=nt,t\in I

定义的道路为σ\sigma00 处的提升,σ~(1)=n\tilde{\sigma}(1)=n,因此degdeg 是满同态。

关于是单同态的证明,可以直观考虑下。首先E1E^1 是单连通的,E1E^1 中任意两条路径,只要它们首尾都相同,就是同伦等价的。

那么,如果π1(S1,1)\pi_1(S^1,1) 中的两个元素[α][β][\alpha]\neq[\beta],那么可以推出它们一定终点不同。否则可以把两个都提升下,就同伦等价了。


根据上面的结果,可以立刻得知莫比乌斯带与圆柱面S1×IS^1\times I 的基本群都是整数加法群。

事实上,莫比乌斯带与S1×IS^1\times I 都同伦等价于S1S^1

# 环面的基本群

命题

XXYY 为道路连通空间,则

x0X,y0Y,π1(X×Y,(x0,y0))π1(X,x0)×π2(Y,y0)\forall x_0\in X,y_0\in Y,\\ \pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))\cong\pi_1(X,x_0)\times \pi_2(Y,y_0)

于是令X=Y=S1X=Y=S^1 代入,可得

π1(S1×S1,(x0,y0))π1(S1,x0)×π1(S1,y0)Z×Z\pi_1(S^1\times S^1,(x_0,y_0))\cong\pi_1(S^1,x_0)\times\pi_1(S^1,y_0)\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}

于是环面基本群同构于Z×Z\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}

# 基本群的应用

# 区别空间的同伦型

举个栗子

S1S^1 的基本群同构于Z\mathbb{Z}

S2S^2 的基本群同构于00。这怎么理解呢?实际上S2S^2 的基本群中,每一条路径都是同伦等价于独点的。因为S2S^2 是个凸集,其表面上的任意一个闭路都能缩成一个点。

因此S1×S1S^1\times S^1 并不同伦于S2S^2,因为它们的基本群不同构,而基本群是同伦不变量。

故环面和三维球面不同伦。

# 多面体及其单纯同调群

# 欧式空间中的超平面与单纯形

# 超平面

定义

VqV^qnn 维欧氏空间EnE^nqq 维向量子空间,a0a_0EnE^n 的给定点,则EnE^n 的子集

a0+Vq={a0+xxVq}a_0+V^q=\{a_0+x|x\in V^q\}

称为EnE^n 的一个qq 维超平面

q=0,1,2q=0,1,2 时,qq 维超平面就是EnE^n 中的点、直线、平面。当q=nq=n 时,易见nn 维超平面就是EnE^n

13

考虑一下首先VqV^q 的概念,V0V^0 就是一个点,V1V^1 就是一条无限长的线,V2V^2 就是一个无限大的面。而要加一个给定点a0a_0,就是要超平面定一个位置,因为VqV^q 是一个向量空间,向量是可以平移的而且认为没有具体起点位置(或认为起点都是原点)。而给定a0a_0 就是给定所有VnV_n 中向量一个起点。

命题

a,bEn,Vqa,b\in E^n,V^q 是是EnE^nqq 维向量子空间,则

  • abVqa-b\notin V^q,则(a+Vq)(b+Vq)=(a+V^q)\cap(b+V^q)=\emptyset
  • abVqa-b\in V^q,则a+Vq=b+Vqa+V^q=b+V^q

我们把上述命题中的超平面a+Vqa+V^qb+Vqb+V^q 称为一对平行的超平面

若把aa 看作是a0a-0 的一个向量(原点到点aa 的向量),那么若a0Vqa-0\in V^q,则会有a+Vq=Vqa+V^q=V^q,即此时a+Vqa+V^q 也成了一个向量子空间。

定义

x=a0+i=1qλivi,λiR,i=1,2,...,qx=a_0+\sum_{i=1}^q\lambda_iv_i,\lambda_i\in \mathbb{R},i=1,2,...,q 称为a0+Vqa_0+V^q 关于基{v1,...,vq}\{v_1,...,v_q\}参数方程,以有序实数组{λ1,...,λq}\{\lambda_1,...,\lambda_q\} 为参数。{a0;v1,...,vq}\{a_0;v_1,...,v_q\} 称为超平面a0+Vqa_0+V^q 的一个仿射坐标系(λ1,...,λq)(\lambda_1,...,\lambda_q) 称为点xx 关于这个坐标系的仿射坐标。若q=n,e0=(1,0,...,0),...,en1=(0,...,0,1)q=n,e_0=(1,0,...,0),...,e_{n-1}=(0,...,0,1),则点xEnx\in E^n 关于坐标系{O;e0,...,en1}\{O;e_0,...,e_{n-1}\} 的仿射坐标就是直角坐标。

如果令ai=a0+via_i=a_0+v_i,则式子可以改为

x=a0+i=1qλi(aia0)x=a_0+\sum_{i=1}^q\lambda_i(a_i-a_0)

为了不要让a0a_0 单独在前面那么突兀,可以引进参数

λ0=1i=1qλi\lambda_0=1-\sum_{i=1}^q\lambda_i

于是就有

{x=λ0a0+λ1a1+...+λqaqλ0+λ1+...+λq=1\begin{cases} x=\lambda_0a_0+\lambda_1a_1+...+\lambda_qa_q\\ \lambda_0+\lambda_1+...+\lambda_q=1 \end{cases}

命题

{v1,...,vq}\{v_1,...,v_q\}EnE^n 的向量子空间VqV^q 的基,a0En,ai=a0+via_0\in E^n,a_i=a_0+v_i。则超平面a0+Vqa_0+V^q 中的点都可以写成:

xa0+Vq,{x=λ0a0+λ1a1+...+λqaqλ0+λ1+...+λq=1\forall x\in a_0+V^q,\\ \begin{cases} x=\lambda_0a_0+\lambda_1a_1+...+\lambda_qa_q\\ \lambda_0+\lambda_1+...+\lambda_q=1 \end{cases}

# 几何无关点组

定义

给定EnE^n 中的q+1q+1 个点A={a0,a1,...,aq}A=\{a_0,a_1,...,a_q\},如果向量组{a1a0,...,aqa0}\{a_1-a_0,...,a_q-a_0\} 线性无关,则称AA几何无关点组,否则称为几何相关的。此外约定独点集A={a0}A=\{a_0\} 总是几何无关的。

命题

A={a0,a1,...,aq}EnA=\{a_0,a_1,...,a_q\}\subset E^n,则AA 是一个几何无关点组当且仅当方程组

{i=0qλiai=0i=0qλi=0\begin{cases} \sum_{i=0}^q\lambda_ia_i=0\\ \sum_{i=0}^q\lambda_i=0 \end{cases}

的解有且只有λi=0,i=0,1,...,q\lambda_i=0,i=0,1,...,q

{v1,v2,...,vn}\{v_1,v_2,...,v_n\}0+En=En0+E^n=E^n 的一个基(即原点为起点),那么点集合{0,v1,v2,...,vn}\{0,v_1,v_2,...,v_n\} 是几何无关的。然而如果把{0,v1,v2,...,vq}\{0,v_1,v_2,...,v_q\} 看作是向量组,它们又是线性相关的。故几何无关和线性无关是两个概念。但当点集合{x0,x1,...,xq}\{x_0,x_1,...,x_q\} 是线性无关的话,{x1x0,...,xqx0}\{x_1-x_0,...,x_q-x_0\} 也是线性无关的。故{x0,x1,...,xq}\{x_0,x_1,...,x_q\} 是几何无关的。可以认为线性无关是比几何无关更强的条件,但是前者描述向量集合,后者描述的是点集合。

命题

A={a0,a1,...,aq}EnA=\{a_0,a_1,...,a_q\}\subset E^n 是集合无关点组,则EnE^n 中存在唯一的一个包含AA 的最低维超平面P(A)P(A),其维数是qq,称为AA 张成的超平面

P(A)P(A) 中的点就是满足方程:

{x=λ0a0+λ1a1+...+λqaqλ0+λ1+...+λq=1\begin{cases} x=\lambda_0a_0+\lambda_1a_1+...+\lambda_qa_q\\ \lambda_0+\lambda_1+...+\lambda_q=1 \end{cases}

的全体xx 的集合,且每个点xx 对应的表达式都唯一。

实际上,该参数方程是从物理学中的重心概念得来的。当n=3,qn=3,q 为任意正整数时,设想在点aia_i 处有一个质量为λi0\lambda_i\geq 0 的质点,i=0,1,...,qi=0,1,...,q,而且这q+1q+1 个质点的质量和为 1. 则这个质点组的重心就是给出的xx。命题中点xx 确定的有序数组(λ0,...,λq)(\lambda_0,...,\lambda_q) 称为点xx 关于超平面P(A)P(A)重心坐标系{a0,a1,...,aq}\{a_0,a_1,...,a_q\}重心坐标,超平面上关于给定重心坐标系的重心坐标是唯一的。

命题

A={a0,a1,...,aq}A=\{a_0,a_1,...,a_q\}EnE^n 的点组,qnq\leq nai=(ai1,ai2,...,ain),i=0,1,...,qa_i=(a_i^1,a_i^2,...,a_i^n),i=0,1,...,q。则点组AA 是几何无关的,当且仅当矩阵

N(A)=(1a01...a0n1a11...a1n............1aq1...aqn)N(A)=\begin{pmatrix} 1&a_0^1&...&a_0^n\\ 1&a_1^1&...&a_1^n\\ ...&...&...&...\\ 1&a_q^1&...&a_q^n \end{pmatrix}

的秩等于q+1q+1

# 单纯形

我们现在来定义构成多面体的最基本材料。

定义

A={a0,a1,...,aq}A=\{a_0,a_1,...,a_q\}EnE^n 的几何无关点组。超平面P(A)P(A) 中所有重心坐标非负点的集合:

{x=i=1qλiaiP(A)i=0qλi=1,λi0,i=0,1,...,q}\{x=\sum_{i=1}^q\lambda_ia_i\in P(A)|\sum_{i=0}^q\lambda_i=1,\lambda_i\geq 0,i=0,1,...,q\}

称为由顶点a0,a1,...,aqa_0,a_1,...,a_q 张成的qq 维度(闭)单纯形,或简称为qq- 单形,记作[a0,a1,...,aq][a_0,a_1,...,a_q],或[s][s]。数qq 称为单形的维数,记作dim[s]=qdim[s]=q。有序数组{λ0,λ1,...,λq}\{\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q\} 仍称为点x=i=0qλiaix=\sum_{i=0}^q\lambda_ia_i 的重心坐标,从而记x=(λ0,λ1,...,λq)x=(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q)

由定义,单纯形是一个点集,而点集中的元素由其顶点唯一确定。当q=0,1,2q=0,1,2 时,有单纯形:

14

注意超平面和单纯形定义的差别就在于,单纯形要求了λi0\lambda_i\geq 0,故直观会形成一个 “闭合” 的凸区域,而不会无限延申。

qq- 单形[s]=[a0,a1,...,aq][s]=[a_0,a_1,...,a_q] 中,顶点aia_i 的重心坐标只有λi=1\lambda_i=1,而其余坐标均为 0。此外所有重心坐标均相同的点b=(1q+1,...,1q+1)b=(\frac{1}{q+1},...,\frac{1}{q+1}),称为该单形的重心。重心坐标全为正的点称为单形的中间点,全体中间点的集合被称为单形[s][s]开单形,记作s=a0,a1,...,aq\langle s\rangle=\langle a_0,a_1,...,a_q\rangle。至少有一个重心坐标为 0 的点称为单形的边缘点,全体边缘点的集合称为单形的边缘,记作s˙\dot{s}。若{ai0,ai1,...,air}\{a_{i_0},a_{i_1},...,a_{i_r}\}{a0,a1,...,aq}\{a_0,a_1,...,a_q\} 的任意子集,那么单形[ai0,...,air][a_{i_0},...,a_{i_r}] 称为单形[a0,a1,...,aq][a_0,a_1,...,a_q] 的一个 r 维面rr- 面,记作:

[ai0,...,air][a0,a1,...,aq][a_{i_0},...,a_{i_r}]\leq[a_0,a_1,...,a_q]

特别地,0 - 面就是单形的顶点,1 - 面称为单形的。若r<qr<q,则rr- 面称为真面,记作[ai0,...,air]<[a0,a1,...,aq][a_{i_0},...,a_{i_r}]<[a_0,a_1,...,a_q]qq- 单形[s][s] 的全体真面的并集就是它的边缘s˙\dot{s}

如果以点集的方式观察单形[s][s],那么开单形s\langle s\rangle[s][s] 的内部,s˙\dot{s}[s][s] 的边界。

# 单纯形的简单性质

{e0,e1,...,en}\{e_0,e_1,...,e_n\}En+1E^{n+1} 的标准正交基,不难验证{e0,e1,...,eq}\{e_0,e_1,...,e_q\} 是几何无关的(因为线性无关可以推出几何无关),我们把[e0,e1,...,eq][e_0,e_1,...,e_q] 称为标准qq- 单形,记作Δq\Delta^q。标准qq- 单形的优越性在于其点的重心坐标与直角坐标相一致。

下面我们说明往往可以用标准qq- 单形来代替任意的qq- 单形。

[s]=[a0,a1,...,aq][s]=[a_0,a_1,...,a_q] 是任意qq- 单形,定义函数f:Δq[s]f:\Delta^q\rightarrow[s]

f(x)=i=0qλiai,x=i=0qλieiΔqf(x)=\sum_{i=0}^q\lambda_ia_i,x=\sum_{i=0}^q\lambda_ie_i\in\Delta^q

这个函数实际上就是通过顶点对应eiaie_i\rightarrow a_i,径线性扩张来的。ff 可以保持重心不变,并且是一个同胚,即它是既单又满的。

每个qq- 单形均为紧致的度量空间。

命题

单形[s][s] 的直径d[s]d[s] 等于其最长棱的长度。即

maxx,y[s]ρ(x,y)=max[a0,a1][s]ρ(a0,a1)\max_{x,y\in [s]}\rho(x,y)=\max_{[a_0,a_1]\leq[s]}\rho(a_0,a_1)

# 单纯复形与多面体

# 单纯复形

定义

[s][s][t][t] 是欧式空间中的两个单形,如果[s][t][s]\cap [t] 是空集或它们的一个公共面,就说[s][s][t][t]规则相处的。

15

上面两组单形是规则相处的,而下面三组单形不是规则相处的。

定义

KK 是欧氏空间中有限个单纯形的集合,满足下列两个条件

  • [s]K,[t][s][s]\in K,[t]\leq [s],蕴含[t]K[t]\in K。(向下封闭)
  • [s],[t]K[s],[t]\in K,蕴含[s][s][k][k] 规则相处。

KK 就称为单纯复合形,简称复形

复形KK 中的 0 - 单形和 1 - 单形仍称为KK 的顶点与棱。复形KK 的维数定义为:

dim  K={1,K=max[s]Kdim  [s],Kdim\;K=\begin{cases} -1,&K=\emptyset\\ max_{[s]\in K}dim\;[s],&K\neq\emptyset \end{cases}

KK 的子集LL 本身是复形,则LL 称为KK子复形

定义

KK 为单纯复形,则集合[s]K[s]\bigcup_{[s]\in K}[s] 加上欧氏空间子空间的拓扑所成的空间称为KK多面体,记作K|K|,这时也把KK 称为多面体K|K| 的一个单纯剖分三角剖分dim  Kdim\;K 也称为多面体K|K| 的维数,记作dim  Kdim\;|K|。如果LLKK 的子复形,则称L|L|K|K|子多面体。而(K,L)(K,L)(K,L)(|K|,|L|) 分别称为单纯复形偶多面体偶

上述定义的多面体及其单纯剖分可以作如下推广

定义

拓扑空间XX 称为多面体,如果存在单纯复形KK 与同胚f:KXf:|K|\approx X。并且我们把单纯复形KK 与同胚ff 组成的偶(K,f)(K,f) 称为空间XX 的一个单纯剖分(三角剖分)。有时甚至简单地把KK 说成XX 的一个单纯剖分。

为了稍微区别两种定义,我们把后者所定义的称为弯曲多面体可剖分空间,而单形的同胚象称为弯曲单形

16

上右图的阴影部分就是一个弯曲 2 - 单形,它是 2 - 单形[s]=[a0,a2,a3][s]=[a_0,a_2,a_3] 在同胚ff 下的象。

# 复形的例子

S1S^1 是多面体,其部分描述如下:

K={[a0],[a1],[a2],[a0,a1],[a0,a2],[a1,a2]}K=\{[a_0],[a_1],[a_2],[a_0,a_1],[a_0,a_2],[a_1,a_2]\}

K|K| 实际上是一个三角形,存在一个同胚ff 将三角形映射成一个圆周S1S^1

17

同时,此时KK 就成为了S1S^1 的一个单纯剖分。而S1S^1 的剖分不是唯一的,上右图也展示了一种六个顶点,六条棱的剖分。

平面圆环{(x,y)E21x2+y24}\{(x,y)\in E^2|1\leq x^2+y^2\leq 4\},下图展示了这个环的一个剖分:

18

环面S1×S1S^1\times S^1。它是由一个正方形先贴合左右边,在贴合上下边组成。我们可以对该正方形进行三角剖分:

19

他由 9 个顶点,27 个棱和 18 个三角形组成。

:单纯形的闭包复形与边缘复形。

[sq][s^q]EnE^n 中的qq- 单形。利用重心坐标的唯一性,可以证明:[sq][s^q] 的任意两个面规则相处。因此,[sq][s^q] 的全体面组成一个qq 维复形,称为[sq][s^q]闭包复形,记作Cl[sq]Cl[s^q]。同样,[sq][s^q] 的全体真面组成q1q-1 维复形,称为[sq][s^q]边缘复形,记作Bd[sq]Bd[s^q]。显然Bd[sq]Bd[s^q]Cl[sq]Cl[s^q] 的子复形,而且

Cl[sq]=[sq],Bd[sq]=s˙q|Cl[s^q]|=[s^q],|Bd[s^q]|=\dot{s}^q

KKnn 维复形,令

Kr={[s]Kdim  [s]r}K^r=\{[s]\in K|dim\;[s]\leq r\}

则不难验证KrK^rKK 的一个子复形,称为KKrr 维骨架。

1 维的单纯复形称为,任何图都是由顶点和棱组成的。若图中有一串棱[a0,a1],[a1,a2],...,[an1,an],[an,a0][a_0,a_1],[a_1,a_2],...,[a_{n-1},a_n],[a_n,a_0] 组成了一条闭合折线圈(该圈是一个多面体,同胚于S1S^1)则这些棱及其顶点构成了一个子图(图的子复形),称为。没有圈的图称为

# 复形的单纯同调群

# 直观想法

利用基本群我们可以断定球面S2S^2T=S1×S1T=S^1\times S^1 是不同胚的。但是对于高维空间,基本群就远远不够了,因为基本群所涉及的仅仅是不超过 2 维的图形。为了克服这个缺陷,可以引进高维同伦群的概念,也可以采用同调的方法。

我们仍考察S2S^2TT 进行比较,S2S^2 上任意简单闭曲线CC 都能把S2S^2 分割成两部分,然而TT 上的径圆AA 与纬圆CC 却没有这样的性质:

20

TT 中也有如BB 这样的闭圈可以把TT 分为两部分(圈里,圈外)。像这样,闭曲线CCS2S^2 上一个区域的边缘,BBTT 上一个区域的边缘,我们称它们为有冠闭路。而像TT 上的A,CA,C' 就是无冠的。

形象地,我们认为A,CA,C' 闭路形成了两个 “无冠洞”。然而继续考虑上图,A,AA,A' 都是无冠的,但它们合在一起也可以围出一片区域,故称AAA\cup A' 是有冠的。

因此,如果把几个简单闭曲线放在一起称为组合闭曲线的话,要找出图形中有几类 “无冠洞”,就须考虑图形中所有组合闭曲线的集合按有冠的关系分成的等价类的全体。


为了能使用群的工具,要利用图形的三角剖分。考虑下图:

21

设环面上有两条简单闭曲线A,BA,B 被剖分成平直的闭折线xyuvwxxyuvwxabcdeaabcdea

我们需要规定单形的定向。1 - 单形[x,y][x,y] 有两种不同的定向,即xyxyyxyx,且为相反的定向,记为xy=yxxy=-yx。而有向闭合折线AA 就可写为:

A=xy+yu+uv+vw+wxA=xy+yu+uv+vw+wx

这种有向 1 - 单形的形式和称为 1 维链。其次,规定邮箱单形的边缘为:

(uv)=vu,(abe)=ab+be+ea\partial(uv) = v - u,\partial(abe)=ab+be+ea

于是有

A=(yx)+(uy)+(vu)+(wv)+(xw)=0\partial A=(y-x)+(u-y)+(v-u)+(w-v)+(x-w)=0

AA 无边缘,这种链称为闭链,在图形上它表示了一条平直的闭直线。又因为

(abe+bce+cde)=ab+bc+cd+de+ea=B\partial(abe+bce+cde)=ab+bc+cd+de+ea=B

说明BB 又是二维链abe+bce+cdeabe+bce+cde(就是三个面贴一起)的边缘,这种链称为边缘链

我们把复形KK 中所有 1 维闭链组成的交换群称为 1 维闭链群,记作Z1(K)Z_1(K);所有 1 维边缘链组成的交换群称为 1 维边缘链群,记为B1(K)B_1(K)。因B1(K)B_1(K) 是所有有冠闭曲线,可见B1(K)Z1(K)B_1(K)\subset Z_1(K)(边缘链一定是闭链)。

于是寻找图形有几类 “无冠洞” 的问题变成了计算商群Z1(K)/B1(K)Z_1(K)/B_1(K),这个商群就被称为KK 的 1 维同调群

# 链群

[sq]=[a0,a1,...,aq][s^q]=[a_0,a_1,...,a_q] 是任意qq- 单形,它的q+1q+1 个顶点有(q+1)!(q+1)! 个不同次序的排列,q>0q>0 时,这些排列可以分成两组,同组的任意两个排列相差一个偶置换,而不同组的两个排列相差一个奇置换。这两组排列就称为单形[sq][s^q] 的两个相反的定向。分别用这两组中的任意一个排列表示。

指定了一个定向的单形称为有向单形,譬如

sq=a0a1a2...aq,sq=a1a0a2...aqs^q=a_0a_1a_2...a_q,-s^q=a_1a_0a_2...a_q

就是单形sqs^q 对应的两个有向单形,此时不再加 “[]” 和 “,”,而只用一个排列来表示。有时也可以用箭头画个圈圈来表示:

22

现设nn 维单纯复形KK 的全体单形:

{[siq]i=1,2,...,αq;q=0,1,...,n}\{[s_i^q]|i=1,2,...,\alpha_q;q=0,1,...,n\}

给其中所有单形都定向:

{siqi=1,2,...,αq;q=0,1,...,n}\{s_i^q|i=1,2,...,\alpha_q;q=0,1,...,n\}

称为KK有向单形基本组。另外,对于任意整数nin_i,我们约定

nisiq=(ni)(siq)n_is_i^q=(-n_i)(-s_i^q)

然后把以整数为系数的任意线性组合:

xq=n1s1q+n2s2q+...+nαqsαqqx_q=n_1s_1^q+n_2s_2^q+...+n_{\alpha_q}s_{\alpha_q}^q

称为KK 的一个qq 维链,或qq- 链。若系数全为 0,则这个群记作 0。 若ni=1n_i=1,其余nj=0n_j=0,那么xq=siqx_q=s_i^q,就是有向单形siqs_i^q

yq=m1s1q+...+mαqsαqqy_q=m_1s_1^q+...+m_{\alpha_q}s_{\alpha_q}^qKK 的另一个qq 维链,定义他们的和为:

xq+yq=i=1αq(ni+mi)siqx_q+y_q=\sum_{i=1}^{\alpha_q}(n_i+m_i)s_i^q

由此定义的群形成了一个 Abel 群,记作Cq(K)C_q(K),称为KKqq 维链群

以有向单形组{s1q,s2q,...,sαqq}\{s_1^q,s_2^q,...,s_{\alpha_q}^q\} 为基生成的 Abel 群Cq(K)C_q(K),称为KKqq 维链群。

# 边缘算子

我们用a^i\hat{a}_i 表示式子中缺aia_i 这一点,于是有:

a0a1a2=(1)0a^0a1a2+(1)1a0a^1a2+(1)2a0a1a^2\partial a_0a_1a_2=(-1)^0\hat{a}_0a_1a_2+(-1)^1a_0\hat{a}_1a_2+(-1)^2a_0a_1\hat{a}_2

一般来说,qq- 单形[sq]=[a0,a1,...,aq][s^q]=[a_0,a_1,...,a_q]q+1q+1(q1)(q-1)- 面:

[tiq1]=[a0,a1,...,a^i,...,aq],i=0,1,...,q[t_i^{q-1}]=[a_0,a_1,...,\hat{a}_i,...,a_q],i=0,1,...,q

它们分别相对于顶点ai,i=0,1,...,qa_i,i=0,1,...,q。如果规定sq=a0a1...aqs^q=a_0a_1...a_q,则我们把tiq1=(1)ia0a1...a^i...aqt_i^{q-1}=(-1)^ia_0a_1...\hat{a}_i...a_qtiq1-t_i^{q-1} 分别称为sqs^q顺向面逆向面。然后定义有向单形sq=a0a1...aqs^q=a_0a_1...a_q 的边缘为:

qsq={0,q=0i=0q(1)ia0...a^i...aq,q=1,2,...,n\partial_qs^q=\begin{cases} 0,&q=0\\ \sum_{i=0}^q(-1)^ia_0...\hat{a}_i...a_q,&q=1,2,...,n \end{cases}

因此qsq\partial_qs^qsqs^q 的所有q1q-1 维顺向面的和。由于链群Cq(K)C_q(K) 是以有向单形组{s1q,...,sαqq}\{s_1^q,...,s_{\alpha_q}^q\} 为基的自由 Abel 群,因此只要将每个siqs_i^q 上的边缘作线性扩张,即定义:

q(i=1αqnisiq)=i=1αqniqsiq,i=1αqnisiqCq(K)\partial_q(\sum_{i=1}^{\alpha_q}n_is_i^q)=\sum_{i=1}^{\alpha_q}n_i\partial_qs_i^q,\\ \sum_{i=1}^{\alpha_q}n_is_i^q\in C_q(K)

就得到 Abel 同态:

q:Cq(K)Cq1(K),q=0,1,...,n\partial_q:C_q(K)\rightarrow C_{q-1}(K),q=0,1,...,n

# 闭链、边缘链与同调群

qq-cqc_q 是某(q+1)(q+1)-xq+1x_{q+1} 的边缘,即

cq=q+1xq+1c_q=\partial_{q+1}x_{q+1}

cqc_q 称为qq 维边缘链qq- 边缘链,所有qq- 维边缘链的集合,即Cq+1(K)C_{q+1}(K)q+1\partial_{q+1} 下的象

im  q+1=Bq(K)im\;\partial_{q+1}=B_q(K)

称为qq 维边缘链群。又若qq-cqc_q 使得qcq=0\partial_qc_q=0,则cqc_q 称为qq 维闭链qq- 闭链

所有qq- 闭链的集合,即同态q\partial_q 的核:

Zq(K)=ker  q={cqqcq=0}Z_q(K)=ker\;\partial_q=\{c_q|\partial_qc_q=0\}

称为qq- 维闭链群

显然Bq(K),Zq(K)B_q(K),Z_q(K) 均为Cq(K)C_q(K) 的子群。而且事实上Bq(K)B_q(K)Zq(K)Z_q(K) 的子群。

边缘算子q\partial_q 诱导出同态:

Cq(K)/Zq(K)Bq1(K)C_q(K)/Z_q(K)\cong B_{q-1}(K)

现定义商群Hq(K)=Zq(K)/Bq(K)H_q(K)=Z_q(K)/B_q(K) 为复形KKqq 维同调群,其元素是qq- 闭链按子群Bq(K)B_q(K) 陪集分解的等价类,若zZq(K)z\in Z_q(K),则zz 所在的陪集称为zz 所代表的qq 维同调类,记作[z][z]


23

我们考察一个三角形区域内挖去一个小三角形的空间(浅蓝色区域)xx,然后随便找一个它的三角剖分(图中黑色线)。然后将所有 2 - 单形(即剖分出来的小三角形)均定向为逆时针,然后有(q=2q=2):

c12=A2B2A1c22=A2B3B2c32=A2A3B3c42=B3A3B1c52=B1A3A1c62=A1B2B1x=i=16ci2c_1^2=A_2B_2A_1\\ c_2^2=A_2B_3B_2\\ c_3^2=A_2A_3B_3\\ c_4^2=B_3A_3B_1\\ c_5^2=B_1A_3A_1\\ c_6^2=A_1B_2B_1\\ x=\sum_{i=1}^6c_i^2

然后求一下边缘算子,就有:

2x=i=162ci2=B2A1A2A1+A2B2+B3B2A2B2+A2B3+A3B3A2B3+A2A3+A3B1B3B1+B3A3+A3A1B1A1+B1A3+B2B1A1B1+A1B2=A2A1+B3B2+A2A3B3B1+A3A1+B2B1=A1A2+A2A3+A3A1B1B2B2B3B3B1\partial_2x=\sum_{i=1}^6\partial_2 c_i^2\\ =B_2A_1-A_2A_1+A_2B_2\\ +B_3B_2-A_2B_2+A_2B_3\\ +A_3B_3-A_2B_3+A_2A_3\\ +A_3B_1-B_3B_1+B_3A_3\\ +A_3A_1-B_1A_1+B_1A_3\\ +B_2B_1-A_1B_1+A_1B_2\\ =-A_2A_1+B_3B_2+A_2A_3-B_3B_1+A_3A_1+B_2B_1\\ =A_1A_2+A_2A_3+A_3A_1-B_1B_2-B_2B_3-B_3B_1

设有向 1 - 单形a0a1a_0a_1 的边缘为a1a0a_1-a_0,故a1a0B1(K)a_1-a_0\in B_1(K),即a1a0a_1\sim a_0,在子群B1(K)B_1(K) 的陪集意义上等价。

若有有向棱a0a1,a1a2,...,ar1ara_0a_1,a_1a_2,...,a_{r-1}a_r,则(a0a1+a1a2+...+ar1ar)=ara0Bq(K)\partial(a_0a_1+a_1a_2+...+a_{r-1}a_r)=a_r-a_0\in B_q(K),故a0ara_0\sim a_r

a0a1a2a_0a_1a_2 是有向 2 - 单形,因为a0a1a2=a1a2a0a2+a0a1Bq(K)\partial a_0a_1a_2=a_1a_2-a_0a_2+a_0a_1\in B_q(K),故a0a1+a1a2a0a2a_0a_1+a_1a_2\sim a_0a_2。(道路的等价性)

KKnn 维复形,rnr\leq n,则对0q<r0\leq q<r,有

Hq(Kr)Hq(K)H_q(K^r)\cong H_q(K)

# 单纯同调群的计算实例

# 关于连通分支的分解

设单纯复形KKkk 个连通分支K1,...,KkK_1,...,K_k 的并,则

Hq(K)Hq(K1)×...×Hq(Kk),qZH_q(K)\cong H_q(K_1)\times ...\times H_q(K_k),q\in\mathbb{Z}

# 零维同调群

我们可以证明,任意复形KK 的零维同调群是同构于整数加法群的。

以一个三角形ABCABC 为例,其链群为:

C2(K)={nABCnZ}C1(K)={n1AB+n2AC+n3BCn1,n2,n3Z}C0(K)={n1A+n2B+n3Cn1,n2,n3Z}C_2(K)=\{nABC|n\in\mathbb{Z}\}\\ C_1(K)=\{n_1AB+n_2AC+n_3BC|n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}\}\\ C_0(K)=\{n_1A+n_2B+n_3C|n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}\}

然后有

Z0(K)=ker  0={sC0(K),0s=0}Z_0(K)=ker\;\partial_0=\{s|\in C_0(K),\partial_0s=0\}

0s0\partial_0s\equiv 0,故有Z0(K)=C0(K)Z_0(K)=C_0(K)。即 “任意一维链条都是闭链。” 而

B0(K)=im  1={n1(BA)+n2(CA)+n3(CB)n1,n2,n3Z}={m1A+m2B(m1+m2)Cm1,m2Z}B_0(K)=im\;\partial_1=\{n_1(B-A)+n_2(C-A)+n_3(C-B)|n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}\}\\ =\{m_1A+m_2B-(m_1+m_2)C|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}

我们定义:

ε:C0(K)Zε(n1A+n2B+n3C)=n1+n2+n3\varepsilon:C_0(K)\rightarrow \mathbb{Z}\\ \varepsilon(n_1A+n_2B+n_3C)=n_1+n_2+n_3

于是有sB0(K)ε(s)=0s\in B_0(K)\Leftrightarrow \varepsilon(s)=0。因此有B0(K)=ker  εB_0(K)=ker\;\varepsilon

ε\varepsilon 显然形成了一个群同态ε:C0(K)Z\varepsilon:C_0(K)\rightarrow\mathbb{Z},故根据群同态基本定理:

Z0(K)/B0(K)=C0(K)/ker  εim  ε=ZZ_0(K)/B_0(K)=C_0(K)/ker\;\varepsilon\cong im\;\varepsilon=\mathbb{Z}

H0(K)ZH_0(K)\cong\mathbb{Z}。很神奇吧。其中,ε\varepsilon 被称作复形的指数,有时记为ind  sind\;s

# 锥形复形

KKEnE^n 中的一个复形,而v=(0,0,...,0,1)En+1v=(0,0,...,0,1)\in E^{n+1},那么对KK 中的任意单形[ai0,ai1,...,aiq][a_{i_0},a_{i_1},...,a_{i_q}],易见[v,ai0,ai1,...,aiq][v,a_{i_0},a_{i_1},...,a_{i_q}] 仍是一个几何无关点组,因此它是En+1E^{n+1} 中的一个单形,记作v[ai0,...,aiq]v*[a_{i_0},...,a_{i_q}]。令

vK={v}{v[s][s]K}Kv*K=\{v\}\cup\{v*[s]|[s]\in K\}\cup K

可以证明vKv*K 成为了En+1E^{n+1} 空间中的一个单纯复形,称为KK 上以vv 为顶点的锥形复形,且dim  vK=1+dim  Kdim\;v*K=1+dim\;K

易见锥形复形也是连通的,故H0(vK)ZH_0(v*K)\cong\mathbb{Z},锥形复形的其他维同调群为:

Hr(K)={Z,r=00,r0H_r(K)=\begin{cases} \mathbb{Z},&r=0\\ 0,&r\neq 0 \end{cases}

# 奇异同调群

# 奇异同调群的定义

# 奇异单形

定义

XX 是拓扑空间,qq 是非负整数,XX 上的奇异qq- 单形是从标准qq- 单形Δq=[e0,e1,...,eq]\Delta^q=[e_0,e_1,...,e_q]XX 的一个映射σ:ΔqX\sigma:\Delta^q\rightarrow X

与道路的定义相仿,应当注意,奇异qq- 单形是指映射本身,而不是Δq\Delta^q 在在σ\sigma 下的象。

σ:Δ1E2\sigma:\Delta^1\rightarrow E^2 是给定的奇异 1 - 单形,σ(λ0,λ1)=(λ1,λ12),λ1I\sigma(\lambda_0,\lambda_1)=(\lambda_1,\lambda_1^2),\lambda_1\in I,若定义一个新的奇异 1 - 单形σ\sigma' 为:

σ(λ0,λ1)={(2λ1,4λ12),0λ112(1,1),12λ11\sigma'(\lambda_0,\lambda_1)=\begin{cases} (2\lambda_1,4\lambda_1^2),&0\leq\lambda_1\leq\frac{1}{2}\\ (1,1),&\frac{1}{2}\leq\lambda_1\leq 1 \end{cases}

σ\sigmaσ\sigma' 是不同的奇异 1 - 单形,然而它们的象是一样的。

空间XX 中的每个点xx 唯一确定一个奇异 0 - 单形,它把Δ0=e0\Delta^0=e_0 映成XX 中的点xx,因此只要不发生混淆,我们常用xx 表示这个奇异 0 - 单形。

顶点对应e00,e11e_0\rightarrow 0,e_1\rightarrow 1 确定保持重心坐标的同胚Δ1I\Delta^1\approx I。通过这个同胚,任意道路α:IX\alpha:I\rightarrow X 唯一确定奇异 1 - 单形α+\alpha^+ 为:

α+(λ0,λ1)=α(λ1),λ1I\alpha^+(\lambda_0,\lambda_1)=\alpha(\lambda_1),\lambda_1\in I

24

AABBEnE^n 的两个凸集,f:ABf:A\rightarrow B 是映射,使得:对AA 中任意凸组合i=0mλiai\sum_{i=0}^m\lambda_ia_i,有

f(i=0mλiai)=i=0mλif(ai)f(\sum_{i=0}^m\lambda_ia_i)=\sum_{i=0}^m\lambda_if(a_i)

ff 称为AABB线性映射。显然线性映射的合成仍是线性映射。现设{a0,a1,...,aq}\{a_0,a_1,...,a_q\} 是凸集XX 中的有序点列,则由:

σ(λ0,λ1,...,λq)=i=0qλiai,(λ0,λ1,...,λq)Δq\sigma(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q)=\sum_{i=0}^q\lambda_ia_i,\quad(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q)\in\Delta^q

定义了XX 上的奇异qq- 单形σ\sigma。可以证明σ\sigma 是线性映射,称为XX 上的线性奇异qq- 单形,记作l(a0,a1...aq)l(a_0,a_1...a_q)。它由对应

eiaie_i\rightarrow a_i

完全确定。就是可以理解为把正交坐标系转化为了其他坐标系。

# 奇异链群

XX 是拓扑空间,qq 是非负整数,令Σq(X)\Sigma_q(X) 表示XX 上全体奇异qq- 单形的集合。则我们把奇异qq- 单形的整系数有限线性组合

xq=i=1kniσi,σiΣq(X),niZx_q=\sum_{i=1}^kn_i\sigma_i,\sigma_i\in\Sigma_q(X),n_i\in\mathbb{Z}

称为XX 上的奇异qq-。当所有的ni0n_i\equiv 0,则把这个奇异qq- 链记为 0。而且也可以定义奇异链的加和:

njσj+mjσj=(nj+mj)σj\sum n_j\sigma_j+\sum m_j\sigma_j=\sum(n_j+m_j)\sigma_j

此时,就生成了一个XX 上的奇异qq- 链群,记为Δq(X)\Delta_q(X)。当q<0q<0X=X=\emptyset 时,我们约定Δq(X)=0\Delta_q(X)=0

# 边缘算子

σ:ΔqX\sigma:\Delta^q\rightarrow X 是奇异qq- 单形,Δq\Delta^qq+1q+1(q1)(q-1)-[e0,...,e^i,...,eq][e_0,...,\hat{e}_i,...,e_q],如果把σ\sigma 限制在这些面上,就得到了q+1q+1 个连续映射:

σ    [e0,...,e^i,...,eq]:[e0,...,e^i,....,eq]X\sigma\;|\;[e_0,...,\hat{e}_i,...,e_q]:[e_0,...,\hat{e}_i,....,e_q]\rightarrow X

除了i=qi=q 之外,其他的[e0,...,ei^,...,eq][e_0,...,\hat{e_i},...,e_q] 将不再是标准的q1q-1 单形,但是它们还是与Δq1\Delta^{q-1} 是同胚的。

我们可以定义一个线性映射:diq:Δq1Δqd_i^q:\Delta^{q-1}\rightarrow\Delta^q

diq(λ0,λ1,...,λq1)=(λ0,...,λi1,0,λi,...,λq1){ejej,0j<iejej+1,ijq1d_i^q(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_{q-1})=(\lambda_0,...,\lambda_{i-1},0,\lambda_{i},...,\lambda_{q-1})\\ \begin{cases} e_j\rightarrow e_j,&0\leq j<i\\ e_j\rightarrow e_{j+1},&i\leq j\leq q-1 \end{cases}

q=2q=2d02,d12,d22d_0^2,d_1^2,d_2^2 的意义如下图所示:

25

可以理解为,分别取e0,e1,e2e_0,e_1,e_2 前的系数都是 0,然后都是个线段。

现在,我们自然定义σ\sigma 的第ii 个面为合成映射:

σ(i)=σdiq:Δq1X\sigma^{(i)}=\sigma\circ d_i^q:\Delta^{q-1}\rightarrow X

而把(1)iσ(i)(-1)^i\sigma^{(i)} 称为奇异qq- 单形σ\sigma 的第ii顺向面,把i=0q(1)iσ(i)\sum_{i=0}^q(-1)^i\sigma^{(i)} 称为σ\sigma边缘,记作:

qσ=i=0q(1)iσ(i),σΣq(X)\partial_q\sigma=\sum_{i=0}^q(-1)^i\sigma^{(i)},\sigma\in\Sigma_q(X)

故有线性同态:

q:Δq(X)Δq1(X)\partial_q:\Delta_q(X)\rightarrow\Delta_{q-1}(X)

引理

0i<jq0\leq i<j\leq q,则djqdiq1=diqdj1q1d_j^q\circ d_i^{q-1}=d_i^q\circ d_{j-1}^{q-1}

这个展开推导一下就好了。

α:IX\alpha:I\rightarrow X,则有

(α+)=α(1)α(0)\partial(\alpha^+)=\alpha(1)-\alpha(0)

σΣ2(X)\sigma\in\Sigma_2(X), 则

σ=σ(0)σ(1)+σ(2)=σd02σd12+σd22\partial\sigma=\sigma^{(0)}-\sigma^{(1)}+\sigma^{(2)}=\sigma\circ d_0^{2}-\sigma\circ d_1^2+\sigma\circ d_2^2

奇异 2 - 单形σ\sigma 可描述为:

26

就是e0,e1,e2e_0,e_1,e_2 应该看作三个维度(如下),然后奇异单形实际上描述的是从上左图到上右图的一个映射。而σ\partial\sigma 粗糙地理解,就是三条边对应的路径。因为σ:Δ1X\partial\sigma:\Delta^1\rightarrow XΔ1I\Delta^1\approx I

27

# 奇异同调群

如同单纯同调群那样,我们分别定义ker  q\ker\;\partial_qim  q+1im\;\partial_{q+1} 为空间XX 上的奇异qq- 闭链群qq- 边缘链群,分别记作Zq(X)Z_q(X)Bq(X)B_q(X)

定义

空间XX奇异qq- 同调群是商群Zq(X)/Bq(X)Z_q(X)/B_q(X) 记作Hq(X),zZq(X)H_q(X),z\in Z_q(X) 所代表的等价类称为奇异qq- 同调类,记为[z][z]

α\alphaXX 中的道路,则α\alpha 是闭路当且仅当α+\alpha^+ 是闭链。又若α\alphaβ\betaXX 中等价的道路,则α+β+\alpha^+\sim\beta^+

# 诱导同态与拓扑不变性

先考虑连续映射f:XYf:X\rightarrow Y 对奇异单形的作用。σ:ΔqX\sigma:\Delta^q\rightarrow XXX 上的一个奇异单形,那么fσ:ΔqYf\circ\sigma:\Delta^q\rightarrow Y 就是YY 上的一个奇异单形。

于是给定连续映射ff,我们就可以定义链群间的同态(有时也记为fΔf_{\Delta}):

fq:Δq(X)Δq(Y)fq(σ)=fσf_q:\Delta_q(X)\rightarrow\Delta_q(Y)\\ f_q(\sigma)=f\circ\sigma

特别地,可以考虑σ:ΔqX\sigma:\Delta^q\rightarrow X 本身就是一个映射,故有:

σΔ:Δp(Δq)Δp(X)\sigma_{\Delta}:\Delta_p(\Delta^q)\rightarrow\Delta_p(X)

Edited on Views times