最不喜欢的,还是学分第一大课,可恶

upd:我收回,我真是太爱数学分析了

# 极限部分

# “趋向的描述”——ε-δ 语言

我认为极限一直在描述下面这种推导关系

xx0f(x)f(x0)x\rightarrow x_{0} \Rightarrow f(x)\rightarrow f(x_{0})\\

严谨地,有

ϵ>0,δ>0,使xU˚(x0,δ),恒有f(x)U(f(x0),ϵ)\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,使\forall x \in \mathring{U}(x_{0},\delta),恒有f(x)\in U(f(x_0),\epsilon)

其实我认为这样的定义并没有反映出 **” 趋近 “** 的趋势,而只是描述了无限接近,其中

xx0翻译为:xU˚(x0,δ)f(x)f(x0)翻译为:恒有f(x)U(f(x0),ϵ)而前者推出后者决定了ϵ>0,δ>0x\rightarrow x_{0} 翻译为:\forall x \in \mathring{U}(x_{0},\delta)\\ f(x)\rightarrow f(x_{0})翻译为:恒有f(x)\in U(f(x_0),\epsilon)\\ 而前者推出后者决定了\forall\epsilon>0,\exists\delta>0

# 极限存在与否

由于我们研究的极限总是形如

limxx0f(x)\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)

则总有自变量到因变量的映射,于是总是会牵扯到极限是否存在的问题

常用判断极限存在的方法有:

迫敛性单调有界定理区间套定理

# 海涅定理

limxaf(x)=A对任意以a为极限的数列{xn},恒有limnf(xn)=A要注意的是,f(x)是函数,是连续的,而xn以及f(xn)都是离散的数列\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A \Leftrightarrow 对任意以a为极限的数列\{x_n\},恒有\lim_{n\rightarrow\infin}f(x_n)=A\\ *要注意的是,f(x)是函数,是连续的,而x_n以及f(x_n)都是离散的数列

“海涅定理深刻地揭示了变量连续和离散的关系,以及变量在变化过程中的整体和部分关系”

往往利用逆否命题证明极限的不存在

# 柯西收敛准则

我认为这是更符合正常人理解的一种收敛的定义

limxx0f(x)=Aϵ>0,δ>0,使x,xU˚(x0,δ),恒有f(x)f(x)<ϵ\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,使\\ \forall x^{'},x^{''}\in\mathring{U}(x_0,\delta),恒有|f(x^{'})-f(x^{''})|<\epsilon

# 极限的性质

关于数列,我认为其对于函数只有一点不同就是:

收敛数列必有界

因为数列有起始项,导致其一端天然有界,以及数列我们都在讨论自变量趋于无穷的情况

下面主要讨论函数

# 唯一、有界、保号、保序、迫敛、压缩、运算

要注意的是,有界,保号,保序,迫敛都是基于在 x0 的某一个去心邻域里讨论的

# 复合函数极限运算

可以见 https://subonan.com/2020/10/07/% E5%85% B3% E4% BA%8E% E5% A4%8D% E5%90%88% E5%87% BD% E6%95% B0% E6%9E%81% E9%99%90% E7%9A%84% E8% BF%90% E7% AE%97% E6% B3%95% E5%88%99/

# 从一个有界函数中可以找出一个收敛子列

当时我想了一段时间这个子列的概念,实际上就是从连续中抽出离散,然后就是废话了

# 关于等价无穷小

使用条件是乘除可用,而加减不可

??????????????????
先用着,给出常用等价无穷小

x0时有xsinxtanxarcsinxarctanxln(1+x)ex1ax1xlna,(1+x)a1+ax,1cosx12x2更多地xsinx16x3arcsinxx16(arcsinx)316x3tanxx13x3arctanxx13x3*************x\rightarrow0时有*************\\ x\sim sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx\sim ln(1+x)\sim e^x-1\\ a^x-1\sim xlna,(1+x)^a\sim 1+ax,1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2\\ 更多地\\ x-sinx\sim\frac{1}{6}x^3\Leftrightarrow arcsinx-x\sim\frac{1}{6}(arcsinx)^3 \sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx-x\sim\frac{1}{3}x^3\Leftrightarrow arctanx-x\sim\frac{1}{3}x^3

  • upd:在讨论后我确定了等价无穷小本质就是极限的四则运算

# 函数的连续性

# 连续函数的判定

初等函数(幂函数,指数函数,对函数,三角函数,反三角函数)是连续的

连续函数四则运算出来仍是连续函数

连续函数复合出来的函数仍是连续的

# 间断点

  • 左右极限存在相等,但不等于函数值:可去间断点
  • 左右极限存在不相等:跳跃间断点(第一类间断点)
  • 左右极限至少一个不存在:第二类间断点

# 连续函数的性质

其实都是一堆废话

中间值定理不如拉格朗日中值定理广义

反函数的连续性又太侠义

以及废话:闭区间上连续函数必有界

# 一致连续性

ϵ>0,δ>0,使x1,x2I,x1x2<δ,都有f(x1)f(x2)<ϵ则称f(x)I上一致连续\forall\epsilon>0,若\exists\delta>0,使\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta,都有|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\\ 则称f(x)在I上一致连续

一时语塞

# 微分法

# 导数的定义

limxx0f(x)f(x0)xx0\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

需要注意的是

dnydxn中,dxn(dx)n相应应是ddxddxddx......ddxy其实我的理解是把ddx看作一个算符,它进行了n次计算在\frac{d^ny}{dx^n}中,dx^n\neq(dx)^n\\ 相应应是\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}......\frac{d}{dx}y\\ 其实我的理解是把\frac{d}{dx}看作一个算符,它进行了n次计算

# 微分

下面进行最为精彩部分的说明

关于无穷小的数域定义

在无穷小数域中,既可以说相等,也可以说等价

x0的情况下如果我们把x定义为单位无穷小AxB则为权为AB阶无穷小在x\rightarrow 0的情况下\\ 如果我们把x定义为单位无穷小\\ 则A*x^B则为权为A的B阶无穷小

就可以定义所有的无穷小数。

下面阐释 Δx 和 dx 的区别

dx 是 Δx 的线性主项,它们不相等,但它们等价

严谨地

x作自变量时,dx=Δxx=h(t)时,Δx=AΔt+α,其中αΔx的高阶无穷小,而dx=AΔx可以证明,Δx一定可以化成f(t)Δt+α的形式所以有dx=f(t)Δt,t不再是其他自变量的函数,则Δt=dt当x作自变量时,dx=Δx\\ 当x=h(t)时,Δx=AΔt+\alpha,其中\alpha是Δx的高阶无穷小,而dx=AΔx\\ 可以证明,Δx一定可以化成f^{'}(t)Δt+\alpha的形式\\ 所以有dx=f^{'}(t)Δt,若t不再是其他自变量的函数,则Δt=dt

高阶地,有

d2y=f(x)(dx)2+f(x)d2xd^2y=f^{''}(x)(dx)^2+f^{'}(x)d^2x\\

然后传统定义中,x 往往看作是最底层的自变量,即 dx 处处相等,永远等于那个 ** 权为 1,阶为 1 的单位无穷小量

所以有d2x=0原式化为d2y=f(x)(dx)2所以有d^2x=0\\ 原式化为d^2y=f^{''}(x)(dx)^2

但是注意,这里是用定义推出的 A 正好等于 f (x) 的二阶导数,而

d2ydx2中,分子分母是不可拆开的。ddx是一个整个算符,再次强调\frac{d^2y}{dx^2}中,分子分母是不可拆开的。\frac{d}{dx}是一个整个算符,再次强调

# 中值定理

说法多多,主要有拉格朗日定理和广义中值定理

(拉格朗日中值定理)f(x)[a,b]上连续,在(a,b)可导,则c(a,b)使f(b)f(a)ba=f(c)(拉格朗日中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,则\exists c\in(a,b)使\\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(c)

(广义中值定理)f(x),g(x)[a,b]上连续,(a,b)上可导,则c(a,b)使f(b)f(a)g(b)g(a)=f(c)g(c)(广义中值定理)若f(x),g(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导,则\exists c\in(a,b)使\\ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)}

根据广义中值定理,我尝试创造了个洛必达法则(后来发现好像是真的

若要计算limxx0f(x)g(x),但是f(x0)=g(x0)=0那么,就可以:f(x)g(x)=f(x)0g(x)0=f(x)f(x0)g(x)g(x0)=f(x)g(x)x总在xx0之间,故limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)=f(x0)g(x0)若要计算\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)},但是f(x_0)=g(x_0)=0 那么,就可以:\\ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f^{'}(x^{'})}{g^{'}(x^{'})}\\ 而x^{'}总在x与x_0之间,故\\ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x^{'}\rightarrow x_0}\frac{f(x^{'})}{g(x^{'})}=\frac{f^{'}(x_0)}{g^{'}(x_0)}

# 泰勒公式

f(x)=k=0nf(k)(x0)k!(xx0)k+o((xx0)n)其中,o((xx0)n)被称为配亚诺形式余项,拉格朗日给出了更为精确的形式f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1ξ(x0,x)f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)\\ 其中,o((x-x_0)^n)被称为配亚诺形式余项,拉格朗日给出了更为精确的形式\\ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\xi\in(x_0,x)

  • 根据我的发现,若想求 f (x), 则在 x 或 x 附近展开是最准确的,相反地,若展开点离 x 越远,若想保持精度需要展开的项数关于距离呈指数倍增加。
  • 特别地,在 x=0 处的展开式称为麦克劳林展开式,给出几个常用展开式:

11x=1+x+x2+x3+...ex=1+x+x22!+x33+x44!+...cosx=1x22!+x44!x66!+x88!...sinx=xx33!+x55!x77!+x99!...ln(1+x)=xx22+x33x44+x55...1tanx=xx33+x55x77+x99...\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\\ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-...\\ sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...\\ ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-...\\ \frac{1}{tanx}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-...\\

# 微分的应用

  • 注意,在讨论单调性、增减性、凹凸性时,满足的条件都是 f (x) 在闭区间内连续,开区间内可微(二次可微)。

    根据我的理解,这其实已经保证了端点处单侧可导

  • 渐近线

    • 定义:曲线到该直线距离趋近于 0

    • k=limxf(x)x,b=limxf(x)kxk=\lim_{x\rightarrow \infin}\frac{f(x)}{x},b=\lim_{x\rightarrow\infin}f(x)-kx

  • 曲率

    给出定义式:曲率K=limΔx0ΔαΔsK=y(1+y2)32K=yxxy(x2+y2)32(参数方程形式)给出定义式:曲率K=|\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|\\ K=|\frac{y''}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}|\\ K=|\frac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}|(参数方程形式)

# 洛必达法则求极限

f(x)g(x)需要在a的一个去心邻域可微分,才可以进行洛必达法则00都可以洛必达这里有个结论,logax的上升速度小于xa,再小于axf(x)和g(x)需要在a的一个去心邻域可微分,才可以进行洛必达法则\\ \frac{\infin}{\infin}和\frac{0}{0}都可以洛必达\\ 这里有个结论,log_ax的上升速度小于x^a,再小于a^x

# 积分学

# 定义

f(x)[a,b]上有定义,用任意的方法,将[a,b]分成有限个小部分:a=x0<x1<x2<...<xn=b,T表示这种分法,d(T)表示max{xixi1}作和数σ=i=1nf(xiˉ)Δxi,其中,xiˉ[xi1,xi]中任取的一点σ称为积分和。当d(T)0时,若σ存在有限极限,则称f(x)[a,b]上黎曼可积设f(x)在[a,b]上有定义,用\textbf{任意}的方法,将[a,b]分成\textbf{有限}个小部分:\\ a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b,\\ 用T表示这种分法,d(T)表示max\{x_i-x_{i-1}\}\\ 作和数\sigma=\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_i})\Delta x_i,其中,\bar{x_i}是[x_{i-1},x_i]中任取的一点\\ 则\sigma称为积分和。当d(T)\rightarrow 0时,若\sigma存在有限极限,则称f(x)在[a,b]上黎曼可积

注:定义中关于“存在”和“对于任意”这种逻辑关系词有欠缺,根据我的理解:f(x)[a,b]上可积ϵ>0,δ>0,使得d(T)<δ的分法T,和对于任意区间内xiˉ的选择,均有i=1nf(xiˉ)ΔxiI<ϵ,I为有限数注:定义中关于“存在”和“对于任意”这种逻辑关系词有欠缺,根据我的理解:\\ f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow\\ \forall \epsilon>0,均\exists\delta>0,使得\quad\forall d(T)<\delta的分法T,和对于任意区间内\bar{x_i}的选择,均有\\ |\sum_{i=1}^nf(\bar{x_i})\Delta x_i-I|<\epsilon,I为有限数

# 性质

f(x)[a,b]上可积limd(T)0σmaxσmin=0,注意,这里的maxmin是关于同一分法T,不同xiˉ选法中的最大,最小积分和。f(x)[a,b]上可积limd(T)0ωiΔxi=0,其中ωi=sup[xi1,xi]inf[xi1,xi]f(x)[a,b]上可积ϵ>0,σ>0,δ>0,对于所有d(T)<ϵ的分法T,均有:T中振幅ωiϵ的区间长度和Δxi<σ*f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow \lim_{d(T)\rightarrow 0}\sigma_{max}-\sigma_{min}=0,注意,这里的max和min是关于同一分法T,不同\bar{x_i}选法中的最大,最小积分和。\\ *f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow \lim_{d(T)\rightarrow 0}\omega_i\Delta x_i=0,其中\omega_i=sup[x_{i-1},x_i]-inf[x_{i-1},x_i]\\ *f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow\\ \forall \epsilon>0,\sigma>0,\exists\delta>0,对于所有d(T)<\epsilon的分法T,均有:\\ T中振幅\omega_i\geq\epsilon的区间长度和\sum\Delta x_i<\sigma

# 判定可积(可积的充分条件)

f(x)[a,b]上连续,则在[a,b]上可积f(x)[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则可积f(x)[a,b]上单调,则可积*f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上可积\\ *f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则可积\\ *f(x)在[a,b]上单调,则可积\\

# 可积带来的性质(可积的必要条件)

f(x)[a,b]上可积f(x)[a,b]上有界可积函数作加减法,数乘仍可积函数可积区间可拼接可积函数的积分值保留符号(f(x)[a,b]>0,abf(x)dx>0)可积函数改变有限个点的函数值,既不影响可积性也不影响极限值*f(x)在[a,b]上可积\Rightarrow f(x)在[a,b]上有界\\ *可积函数作加减法,数乘仍可积\\ *函数可积区间可拼接\\ *可积函数的积分值保留符号(若f(x)在[a,b]>0,则\int_a^bf(x)dx>0)\\ *可积函数改变有限个点的函数值,既不影响可积性也不影响极限值

# 积分学中值定理

f(x)[a,b]上连续(可积),g(x)[a,b]上可积,不变号,则:ζ[a,b],使得abf(x)g(x)dx=f(ζ)abg(x)dxg(x)=1可以有更好看的形式若f(x)在[a,b]上连续(可积),g(x)在[a,b]上可积,不变号,则:\\ \exists \zeta\in[a,b],使得\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\zeta)\int_a^bg(x)dx\\ 当g(x)=1可以有更好看的形式


f(x)[a,b]上单调(可积),g(x)[a,b]上可积,则:ζ[a,b],abf(x)g(x)dx=f(a)aζg(x)dx+f(b)ζbg(x)dx若f(x)在[a,b]上单调(可积),g(x)在[a,b]上可积,则:\\ \exists\zeta\in[a,b],\int_a^bf(x)g(x)dx=f(a)\int_a^\zeta g(x)dx+f(b)\int_\zeta^bg(x)dx


f(x)[a,b]上递减(可积),且非负,g(x)[a,b]上可积,则:ζ[a,b],abf(x)g(x)dx=f(a)aζg(x)dx若f(x)在[a,b]上递减(可积),且非负,g(x)在[a,b]上可积,则:\\ \exists \zeta\in[a,b],\int_a^bf(x)g(x)dx=f(a)\int_a^\zeta g(x)dx

f(x)[a,b]上递增(可积),且非负,g(x)[a,b]上可积,则:ζ[a,b],abf(x)g(x)dx=f(b)ζbg(x)dx若f(x)在[a,b]上递增(可积),且非负,g(x)在[a,b]上可积,则:\\ \exists \zeta\in[a,b],\int_a^bf(x)g(x)dx=f(b)\int_\zeta^b g(x)dx

# 原函数

  • 若 f (x) 在 [a,b] 上可积,则它的原函数 F (x) 在 [a,b] 上连续。

  • f(x)[a,b]可积,且在x0[a,b]处连续,则Φ(x)=axf(t)dtx0处的导数=f(x0)由此推出:连续函数一定有原函数(可积),因为Φ(x)=atf(t)dt就是一个原函数若f(x)在[a,b]可积,且在x_0\in[a,b]处连续,则\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt在x_0处的导数=f(x_0)\\ 由此推出:\\ 连续函数一定有原函数(可积),因为\Phi(x)=\int_a^tf(t)dt就是一个原函数

# 求积分

  • 分部积分法规则:反函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数,越靠后越优先放进 dx 里然后分部积分

  • 一切实系数多项式都能分解为次数为 1 和 2 的素因式,因为虚根都是成共轭出现的

  • 当将 x=g (t) 变换时,积分域需要选择一个 g (t) 的单调区间,且这个区间的值域等于 x 的积分域

  • 常用积分(求导)公式

    dxa2+x2=1aarctanxa+C(x=atanα)dxa2x2=arcsinxa+C(直接积出来的)dxa2x2=12alna+xax+C(x=asinα)dxx2+a2=ln(x+x2+a2)+C(x=atanα)dxx2a2=ln(xx2a2)+C(x=asinα)a2x2dx=12xa2x2+a22arcsinxa+C(x=asinα)x2a2dx=12xx2a2a22lnx+x2a2+C(x=asinα)x2+a2dx=12xx2+a2+a22ln(x+x2+a2)+C(x=atanα)dxsinx=lntanx2+C(把分母变形为2tanx2cos2x2)dxcosx=lntan(x2+π4)+C(sinx变成cosx)eaxsinbxdx=eax(asinbxbcosbx)a2+b2+C(分部积分,解方程)eaxcosbxdx=eax(bsinbx+acosbx)a2+b2+C(分部积分,解方程)dx(x2+a2)2=12a2×xx2+a2+12a3arctanxa+C(x=atanα)\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}a arctan\frac{x}a+C(令x=atan\alpha)\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}a+C(直接积出来的)\\ \int\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C(令x=asin\alpha)\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C(令x=atan\alpha)\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln(x-\sqrt{x^2-a^2})+C(令x=\frac{a}{sin\alpha})\\ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C(令x=asin\alpha)\\ \int\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(令x=\frac{a}{sin\alpha})\\ \int\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C(令x=atan\alpha)\\ \int\frac{dx}{sinx}=ln|tan\frac{x}2|+C(把分母变形为2tan\frac{x}2cos^2\frac{x}2)\\ \int\frac{dx}{cosx}=ln|tan(\frac{x}2+\frac{\pi}4)|+C(把sinx变成cosx)\\ \int e^{ax}sinbxdx=\frac{e^{ax}(asinbx-bcosbx)}{a^2+b^2}+C(分部积分,解方程)\\ \int e^{ax}cosbxdx=\frac{e^{ax}(bsinbx+acosbx)}{a^2+b^2}+C(分部积分,解方程)\\ \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{1}{2a^2}\times\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^3}arctan\frac{x}{a}+C(令x=atan\alpha)