关于复合函数极限的运算法则的证明和理解

在数学分析课本 P60 页有这么一个定理:

定理7(复合函数极限的运算法则)设y=f[g(x)]是函数y=f(u)u=g(x)的复合函数若满足下列两条件之一:1limuu0f(u)=f(u0),limxx0g(x)=u02limuu0f(u)=A,limxx0g(x)=u0,但在0<xx0<δg(x)u0(δ>0)limxx0f[g(x)]=limuu0f(u)定理7(复合函数极限的运算法则)设y=f[g(x)]是函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数\\若满足下列两条件之一:\\ 1、\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=f(u_{0}),\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0}\\ 2、\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=A,\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0},但在0<|x-x_{0}|<\delta内g(x)\neq u_{0}(\delta >0)\\ 则\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)

然后这个定理的证明以及条件 2 里那个

但在0<xx0<δg(x)u0(δ>0)但在0<|x-x_{0}|<\delta内g(x)\neq u_{0}(\delta >0)

条件不知道怎么理解


# 先来尝试证明条件 2 (注意不同角标的不同含义)

limuu0f(u)=A有:ϵ1>0,δ1>0,使得当0<uu0<δ1时,恒有f(u)A<ϵ1(1)同样由limxx0g(x)=u0有:ϵ2>0,δ2>0,使得当0<xx0<δ2时,恒有g(x)u0<ϵ1(2)(2)式中ϵ2ϵ2=δ1,再结合(1),用g(x)代替u则构成如下逻辑命题:ϵ1>0,δ1>0,而对于存在的这个δ1,又一定存在δ2使得:0<xx0<δ2时恒有g(x)u0<δ1而当g(x)u0<δ1时,由(1)则可以推出恒有f(g(x))A<ϵ1综上所以有ϵ1>0,δ2>0使得0<xx0<δ2时恒有f(g(x))A<ϵ1由\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=A有:\\ \forall \epsilon_{1}>0,\exists \delta_{1}>0,使得当0<|u-u_{0}|<\delta_{1}时,恒有 |f(u)-A|<\epsilon_{1}············(1)\\ 同样由\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0}有:\\ \forall \epsilon_{2}>0,\exists \delta_{2}>0,使得当0<|x-x_{0}|<\delta_{2}时,恒有 |g(x)-u_{0}|<\epsilon_{1}··············(2)\\ 对(2)式中\epsilon_{2}\pmb{取\epsilon_{2}=\delta_{1}},再结合(1),用g(x)代替u则构成如下逻辑命题:\\ *\forall \epsilon_{1}>0,\exists \delta_{1}>0,而对于存在的这个\delta_{1},又一定存在\delta_{2}使得:\\ 当0<|x-x_{0}|<\delta_2时恒有|g(x)-u_0|<\delta_1\\ *而当|g(x)-u_0|<\delta_1时,由(1)则可以推出恒有|f(g(x))-A|<\epsilon_1\\ 综上所以有\forall \epsilon_1>0,\exists \delta_2>0使得0<|x-x_0|<\delta_2时恒有|f(g(x))-A|<\epsilon_1

不过注意到其中有个错误:

(1)式中条件有0<uu0<δ1,而(2)式只能得出g(x)u0<ϵ1(1)式中条件有0<|u-u_0|<\delta_1,而(2)式只能得出|g(x)-u_0|<\epsilon_1

左边的不等号无法得出。所以条件 (1),(2) 均有其补救措施:

在条件(1)中有0=g(x)u0,即不满足(1)中的0<g(x)u0<δ1但是此时有g(x)=u0,那么f(g(x))f(u0)=0<ϵ1自然成立了在条件(1)中有\\当0=|g(x)-u_0|时,即不满足(1)中的0<|g(x)-u_0|<\delta_1时\\ 但是此时有g(x)=u_0,那么|f(g(x))-f(u_0)|=0<\epsilon_1自然成立了\\

在条件(2)则更为直接,强行令0<xx0<min(δ2,δ)=δ2时,g(x)u0自然有0<g(x)u0<δ1在条件(2)则更为直接,强行令0<|x-x_0|<min(\delta_2,\delta)=\delta_2'时,g(x)\neq u_0自然有0<|g(x)-u_0|<\delta_1\\

那么如果不加那个g(x)u0会怎么样呢?那么如果不加那个g(x)\neq u_0会怎么样呢?

此时条件应该否定为:

δ>0,总x1,0<x1x0<δ,使得g(x1)=u0=limxx0g(x)形象化理解,即x0处的g(x)是平的,即x0g(x)未发生变化于是找到反例:g(x)=2f(u)={2,u=21,u2此时g(x)就处处是平的常函数,而limu2f(u)=1=A2=f(2)故有limx1f(g(x))=limx1f(2)=2A\forall \delta>0,总\exists x_1,0<|x_1-x_0|<\delta,使得g(x_1)=u_0=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)\\ 形象化理解,即x_0处的g(x)是平的,即x_0处g(x)未发生变化\\ 于是找到反例:\\ g(x)=2\\ f(u)=\left\{ \begin{aligned} 2,u=2\\ 1,u\neq 2 \end{aligned} \right.\\ 此时g(x)就处处是平的常函数,而\\ \lim_{u\rightarrow2}f(u)=1=A\neq2=f(2)\\ 故有\lim_{x\rightarrow1}f(g(x))=\lim_{x\rightarrow1}f(2)=2\neq A

感性化理解,则是极限描绘了变化的过程,若 g (x) 在 x0 处是平的话,那么在 x0 的邻域上 g (x) 未发生变化,那么 f (u) 的 **自变量根本没有发生变化**,故求出的极限是错误的