MATH-214 spring 2021 的课堂小 exercise

《把量子计算当成李群转转转》

莫名其妙的交叉：量子计算、逻辑、范畴、一般拓扑、层理论、流形、李群

# 一堆定义

# Basis of topology

$\mathcal{B}\subset \mathcal{P}(X)$ is called a basis for the topology on $X$ if for every $A\subset X$,

$$\begin{aligned} A\text{ is open}&\iff A\text{ is a union of elemens in }\mathcal{B}\\ &\iff \forall p\in A.\;\exists B\in\mathcal{B}.\;s.t.\;p\in B\subset A \end{aligned}$$

# Neighborhood

For point $p\in W$ in topological space $X$, $W$ is called a neighborhood of $p$ if there exists an open set such that $p\in U\subset W\subset X$.

# Hausdorff

Topological space $X$ is Hausdorff if for any $p,q\in X$ and $p\neq q$, exists open subsets $U,V\subset X$ such that $p\in U,q\in V,U\cap V=\emptyset$.

# Compact

$K\subset X$ is called compact if every open cover $K\subset\bigcup_{i\in I}U_i$ (in topogical space $X$) has a finite subcover $K\subset\bigcup_{i\in F}U_i$, $|F|<\infty$.

# Second countable

Topological space $X$ is called second countable if it has a coutable basis.

# Locally Euclidean

Topological space $X$ is called $n$-dimensional locally Euclidean if for any point $p\in X$, there is an open subset $p\in U\subset X$ such that $U$ is homeomorphic to an open set in $\mathbb{R}^n$.

With out loss of generality, the definition could be modified as $U\approx B(0,1)\in\mathbb{R}^n$. (See exercise below)

# Topological manifold

A topological space $M$ is called $n$-dimensional topological manifold if $M$ is

• locally $n$-dimensional Euclidean.
• Hausdorff.
• second countable.

# Coordinate chart

A (coordinate) chart on $n$-dimensional manifold $M$ is a pair $(U,\varphi)$ where $U\subset M$ is an open set and $\varphi:U\rightarrow \tilde{U}$ is a homeomorphism to an open subset in $\mathbb{R}^n$. i.e.,

$$\tilde{U}:=\varphi(U)\mathop{\subset}_{\text{open}}\mathbb{R}^n$$

# (Path) connectivity (component)

Topological space $X$ is connected if the only subset that are both open and closed are $\emptyset,X$.

Topological space $X$ is path-connected if $\forall p,q\in X$, there is a continuous path $r:[0,1]\rightarrow X$ with $r(0)=p,r(1)=q$.

Remark: In manifold $M$, $M$ is connected if and only if it’s path connected.

While in topological space $X$, path-connected is a stronger requirement.

The component of $X$ is the maximal path-connected subsets of $X$.

# Interior

The interior of a subset $S\subset X$ in topological space $X$ is the union of all subsets of $S$ that are open in $X$. i.e.,

$$\text{Int}S=\bigcup_{A\subset S,A\text{ is open in }X}A$$

Remark: $\text{Int}S$ is the largest open subset of $S$.

# Exhaustion by compact subsets

An exhaustion by compact subsets is an increasing sequence $K_1\subset K_2\subset...\subset X$ such that:

• $\forall i.\;K_i$ is compact.
• $K_i\subset\text{Int}K_{i+1}$.
• $\bigcup_{i=1}^{\infty}K_i=X$.

Remark: Since $X$ is open, thus $X=\bigcup_{i=1}^{\infty}\text{Int}K_i$.

# Limit points

The limit points for a subset $A\subset X$ in topological space $X$ are points $p$ such that, for any open subset $U$ in $X$,

$$p\in U\subset X\implies \exists q\in U.\;q\neq p\text{ and }q\in A$$

Remark: An interior point is not necessarily a limit point, i.e. $p\in A\cancel{\implies} p$ is a limit point for $A$.

The discrete set $X=\{a,b,c\}$ with topology $\mathcal{P}(A)$. The interior point $a\in \{a\}$ is not a limit point of $\{a\}$.

# Closure

The closure of a subset $A\subset X$ in topological space $X$ is all interior points together with limit points of $A$, which is denoted as $\bar{A}=A\cup \text{lim}A$.

Remark: closure are closed sets.

we prove that $X-\bar{A}$ is open.

Given any point $p\in X-\bar{A}$, it’s not a limit point of $A$, which means, exists open subset $p\in U_p\subset X$ such that $U_p\cap A=\emptyset$.

Then $\bigcup_{p\in X-\bar{A}}U_p$ is a open cover of $X-\bar{A}$ and does not intersect with $A$.

Thus $X-\bar{A}=\bigcup_{p\in X-\bar{A}}U_p$ is open.

# Precompact

Subset $A\subset X$ in topological space $X$ is precompact if its closure $\bar{A}$ is compact in $X$.

# (Locally finite) cover

$\mathcal{U}\subset \mathcal{P}(X)$ is called a cover of $X$ if $X=\bigcup_{u\in\mathcal{U}}u$.

Moreover, the cover is called locally finite if for any point $p\in X$, there exists a neighborhood $p\in W\subset X$ such that $W$ only intersects finitely many $u\in\mathcal{U}$.

# Refinement

Cover $\mathcal{V}\subset\mathcal{P}(X)$ is called a refinement of cover $\mathcal{U}\subset\mathcal{P}(X)$ if $\forall v\in\mathcal{V}.\;\exists u\in\mathcal{U}.\;v\subset u$.

# Paracompact

Topological space $X$ is called paracompact if every open cover has a locally finite refinement.

Remark: Every topological manifold is paracompact.

# Linear map

A linear map (also called a linear mapping, linear transformation, vector space homomorphism, or in some contexts linear function) is a mapping $V\to W$ between two vector spaces that preserves the operations of vector addition and scalar multiplication.

# Smooth (component function, partial derivative)

If $U$ and $V$ are open subsets of Euclidean spaces $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{R}^m$, respectively, then a function $F:U\rightarrow V$ is said to be smooth (or $C^\infty$, or infinitely differentiable) if each of its component functions has continuous partial derivatives of all orders at any point in $U$.

Notation: Suppose $\overrightarrow{u}\in\mathbb{R}^n$ and $F(\overrightarrow{u})=(F_1(\overrightarrow u),...,F_m(\overrightarrow{m}))\in\mathbb{R}^m$, then each $F_1,..,F_m$ is a component function of $F$.

Then $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ is in $C^1$ means that,

$$\begin{aligned} & \frac{\partial F_i}{\partial u_j}=\lim_{h\to 0}\frac{F_i(u_1,...,u_j+h,...,u_n)-F(u_1,...,u_j,...,u_n)}{h} \end{aligned}$$

is continuous for any $i=1,...,m\quad j=1,...,n$, and for any $\overrightarrow{u}\in U$.

Besides, $F\in C^2$ means

$$\frac{\partial^2 F_i}{\partial u_j\partial u_k}$$

is continuous for $i=1,...,m\quad j=1,...,n\quad k=1,...,n$.

And so on. $F$ is smooth is defined as $F\in C^{\infty}$.

# Diffeomorphism

If smooth function $F$ is bijective and has a smooth inverse map, then it is called a diffeomorphism.

# Smoothly compatible

We say two coordinate charts $(U,\varphi),(V,\psi)$ are smoothly compatible if both transition maps:

$$\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\rightarrow \psi(U\cap V)\\ \varphi\circ\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\to \varphi(U\cap V)$$

are smooth.

# (Smooth) atlas

An atlas $\mathcal{A}$ of $M$ is a collection of charts such that $M=\bigcup_{(U,\varphi)\in\mathcal{A}}U$.

An atlas is called smooth if all charts in it are smoothly compatible.

An atlas $\mathcal{A}$ is maximal if there is no other atlas $\mathcal{A}'$ such that $\mathcal{A}\subsetneq\mathcal{A}'$.

Remark: Given any smooth atlas $\mathcal{A}$, we could construct the maximal smooth atlas as:

$$\overline{\mathcal{A}}=\{(U,\psi)\mid (U,\psi)\text{ is smooth compatible with all }(V,\varphi)\in \mathcal{A}\}$$

and the maximal construction is unique. That is, if every chart in $\mathcal{A}$ is smooth compatible with every chart in $\mathcal{A}'$, then $\overline{\mathcal{A}}=\overline{\mathcal{A}'}$.

# Smooth structure

A maximal smooth altlas on a topological manifold $M$ is called a smooth structure on $M$.

# Smooth manifold

A smooth manifold is a pair $(M^n,\mathcal{A})$, where $M^n$ is a $n$-dimensional topological manifold and $\mathcal{A}$ is a smooth structure.

For short, we write $M=(M^n,\mathcal{A})$, and say that chart $(U,\varphi)$ is smooth if $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$. (Just like open sets in topological space)

Remark: “Smooth structure” here is a closure (see maximal atlas), which means if $(U,\varphi)$ is smooth compatible with all charts in $\mathcal{A}$, then $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$.

In words, if chart is smooth compatible with all smooth charts, then it’s smooth.

# Lecture 1

一方面，

考虑$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个 topological continuous function。那么意味着

$$\forall (a,b)\subset\mathbb{R}.\;f^{-1}(a,b)=\{x\mid a<f(x)<b\}\text{ is open}$$

所以，对于任意 point $x\in\mathbb{R}$ 和$\varepsilon>0$，有$(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)$ 是$\mathbb{R}$ 的一个 open set。因此存在

$$f^{-1}(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)=\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)\subset \mathbb{R}$$

即$f^{-1}(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)$ 是一个 open set。又因为不难验证$x\in f^{-1}(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)$，所以$\exists i.\;x\in(a_i,b_i)$。

所以我们取对应的$(a_i,b_i)$ 满足$x\in (a_i,b_i)$。那么存在一个$\delta=\max(b_i-x,x-a)$，使得有：

$$\forall x'\in (x-\delta,x+\delta).\;f(x')\in (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)$$

即对应了$\varepsilon-\delta$ 语言：

$$\forall \varepsilon>0.\;\exists \delta>0.\;\forall x'.\;|x-x'|<\delta\implies |f(x)-f(x')|<\varepsilon$$

另一方面，

如果有$\varepsilon-\delta$ 语言，我们证明：任给一个 open set $\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)\subset\mathbb{R}$，有$f^{-1}\left (\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)\right )$ 也是 open 的。

注意到：

$$f^{-1}\left (\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)\right )=\{x\in\mathbb{R}\mid \exists i.\;a_i<f(x)<b_i\}=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(a_i,b_i)$$

因此我们证明，每个$f^{-1}(a_i,b_i)$ 都是 open 的，那么根据 open set 的 axiom，它们的 union 也是 open 的。

任给一个$(a,b)$，根据实数的连续性，可以知道$(a,b)=\bigcup_{y\in(a,b)}(y-\varepsilon_y,y+\varepsilon_y)$。即开区间$(a,b)$ 可以由每个开区间中的元素的邻域覆盖。

那么$\forall x\in f^{-1}(a,b)$，我们取$y:=f(x)\in (a,b)$，那么根据$\varepsilon-\delta$ 语言，存在一个$\delta_x$ 使得：

$$(x-\delta_x,x+\delta_x)\subset f^{-1}(y-\varepsilon_y,y+\varepsilon_y)\subset f^{-1}(a,b)$$

那么有，对于$\forall x\in f^{-1}(a,b).\; \exists \delta_x.\;(x-\delta_x,x+\delta_x)\subset f^{-1}(a,b)$。即对于$f^{-1}(a,b)$ 中的每个元素，都存在一个开邻域。那么

$$f^{-1}(a,b)=\bigcup_{x\in f^{-1}(a,b)}(x-\delta_x,x+\delta_x)$$

也是 open 的。

$\square$.

不难发现，对于任意$Z$ 中 open set $A$，有：

$$\begin{aligned} f^{-1}(A)\cap Y&=\{x\in Y\mid f(x)\in A\}\\ &=\{x\in Y\mid f|_Y(x)\in A\}\\ &=f|_Y^{-1}(A) \end{aligned}$$

因为$f$ continuous，既然$f^{-1}(A)\in\mathcal{O}(X)$，那么$f|_Y^{-1}(A)=f^{-1}(A)\cap Y\in\mathcal{O}(Y)$。故$f|_Y$ continuous。

$\square$.

注意到对于任意$X$ 的 open set $A\in\mathcal{O}(X)$，有

$$\begin{aligned} i^{-1}(A)&=\{y\in Y\mid i(y)\in A\}\\ &=\{y\in Y\mid y\in A\}\\ &=Y\cap A \end{aligned}$$

因此要求$i$ continuous，至少要所有的$i^{-1}(A)=Y\cap A$ 都在$\mathcal{O}(Y)$ 中。不难验证，$\mathcal{O}(Y)=\{Y\cap A\mid A\in\mathcal{O}(X)\}$ 也确实满足 openset axioms，所以它就是最小的一个。

$\square$.

证明略（beyond course scope）

注：$B(0,1)$ 就是$\mathbb{R}^n$ 中的原点附近半径为 1 的球形邻域。

假如说对于 open set $p\in U\subset X$ 有$\varphi(U)=\bigcup_{i\in I}B(a_i,r_i)$ 是$\mathbb{R}^n$ 中的 openset。

那么不难发现，存在一个$i$ 使得$\varphi(p)\in B(a_i,r_i)$，不妨记$\varphi(p)\in B(a_0,r_0)$。

因为$\varphi,\varphi^{-1}$ 都是 continuous 的，故$\varphi^{-1}(B(a_0,r_0))$ 是$X$ 中的一个 open set。

那么不失一般性，我们不妨取$p\in \varphi^{-1}(B(a_0,r_0))\subset X$ 代替$p\in U\subset X$，此时$\varphi^{-1}(B(a_0,r_0))\approx B(a_0,r_0)\approx B(0,1)$。

因此$X$ 是 locally Euclidean 的，当且仅当对于任意 point $p\in X$，存在一个 open neighborhood $p\in U\subset X$ 使得$U\approx B(0,1)$。

$\square$.

很简单，对于$p\neq q\in X$，因为$f(p)\neq f(q)$，所以存在两个不相交的 intervals 满足：

$$f(p)\in (a,b)\quad f(q)\in(c,d)\quad (a,b)\cap (c,d)=\emptyset$$

注意到$f$ 是 continous，因此$f^{-1}(a,b),f^{-1}(c,d)$ 都是$X$ 中的 open set，且$p\in f^{-1}(a,b),q\in f^{-1}(c,d)$。

不难发现$f^{-1}(a,b)\cap f^{-1}(c,d)=\emptyset$。因为如果不为空，就$\exists x.\;f(x)\in (a,b),f(x)\in (c,d)$，那么$(a,b)\cap (c,d)\neq\emptyset$ 矛盾。

故$X$ 是 Hausdorff 空间。

$\square$.

简单的，对于任意$p\neq q\in Y$，存在$U,V\in\mathcal{O}(X)$ 使得$p\in U,q\in V,U\cap V=\emptyset$。

那么故就有$U\cap Y,V\cap Y$ 满足

$$p\in U\cap Y\;q\in V\cap Y\;(U\cap Y)\cap(V\cap Y)=\emptyset$$

故$Y$ 也是 Hausdorff。

$\square$.

对于任意 point $x\in X-K$，因为$X$ 是 Hausdorff 的，那么对于任意$y\in K$ 都有 open neighborhood $U_y,V_y$ 使得

$$x\in U_y\quad y\in V_y\quad U_y\cap V_y=\emptyset$$

注意到，$\bigcup _{y\in K}V_y$ 是$K$ 的一个 cover，因为$K$ 是 compact 的，因此存在一个 finite cover $K\subset \bigcup_{y\in F}V_y$。

那么$\bigcap_{y\in F}U_y$ 就是$x$ 的一个 open neighborhood，而且和$K$disjoint。不妨记为$A_x$。

因此$\bigcup_{x\in X-K}A_x$ 就是一个$X-K$ 的 cover，而且和$K$ 不相交。故$X-K=\bigcup_{x\in X-K}A_x$ 是一个 open set。

$\square$.

（注意：单纯的把每个$x,y$ 对应的$U_y$ 并起来，虽然也是$X-K$ 的一个 cover，但无法保证和$K$ 不相交。）

不妨考虑$\varphi(K)$ 的一个 open cover，即$\varphi(K)\subset \bigcup_{i\in I}U_i$。

那么不难发现，有$K\subset \bigcup_{i\in I}\varphi^{-1}(U_i)$。那么因为$K$ compact，所以$K\subset \bigcup_{i\in F}\varphi^{-1}(U_i)$。

因此$\varphi(K)\subset \bigcup_{i\in F}U_i$。故$\varphi(K)$ compact。

$\square$.

我们需要证明$\varphi^{-1}:Y\rightarrow X$ 是 continuous 的，即要证明对于任意 open set $U\subset X$，有$\varphi(U)$ open in $Y$。

也就等价为，对于任意 closed set $U\subset X$，有$\varphi(U)$ closed in $Y$。

我们首先证明，a closed subset of compact set is compact。

对于 closed set $U\subset X$ 和一个 open cover $U\subset\bigcup_{i\in I}U_i$，那么$X-U$ 是 open 的，那么$X\subset (X-U)\cup\bigcup_{i\in I}U_i$。

因为$X$ 是 compact，因此$X\subset (X-U)\cup\bigcup_{i\in F}U_i$。

因此$U\subset \bigcup_{i\in F}U_i$（因为否则如果有$u\in U,u\notin \bigcup_{i\in F}U_i$，那么就有$u\in X$ 但是$u\notin (X-U)\cup\bigcup_{i\in F}U_i$，矛盾）

因此$U$ 是 compact 的。

所以有对于 closed set $U\subset X$，有$U$ 也是 compact 的。

再根据上个 exercise，有$\varphi(U)$ is compact in $Y$。

再根据上上个 exercise，有$\varphi(U)$ is closed in $Y$。

$\square$.

0-dimensional topological manifold 意思就是对于$M$ 中的每一个 point $p$，都存在一个开邻域$p\in U\subset M$ 同胚于一个点，即$\mathbb{R}^0$。

注意到，对于任意 point $p$，上述存在的开邻域中一定只存在$p$ 一个 point。

因为如果对于某个$U$ 含有两个不同的 point $p\neq q$ 且$U$ 同胚于$\mathbb{R}^0$，那么因为$M$ 是 Hausdorff 的，就存在$U_1,U_2$ 使得$p\in U_1,q\in U_2,U_1\cap U_2=\empty,U_1\cup U_2\subset U$。不难发现此时不可能有$U\approx \mathbb{R}^0$。

因此对于$M$ 中的每个点，都有存在一个 open set 只包含那一个点。故根据 open set axiom，$\mathcal{O}(M)=\mathcal{P}(M)$。

那么显然地，最小的$M$ 的 topological basis 就是$\mathcal{B}=\{\{x\}: x\in M\}$。因为每个$\{x\}$ 都是 open set，而且它们无法写成其他任何集合的 union，故它们必须在 basis 里。

所以这告诉我们$M$ 的 topological basis 应该是$\mathcal{B}$ 再添加一些$M$ 的 subset。

假如$M$ is uncoutable，那么$\mathcal{B}$ 也是 uncoutable 的。那么就违背了$M$ 作为 manifold 是 second coutable 的条件。

故$M$ 是 countable 的。

$\square$.

实际上就想证明，manifold 要求的三个 property 都是可以被 open sub topology 保持的。

1. locally Euclidean。对于任意 point $p$，存在一个 open set $p\in U\subset M$ 使得$U$ 同胚于$\mathbb{R}^n$ 中的某个 open set，假设这个同胚是 continous function $f,f^{-1}$。

   那么考虑$M'$ 中，$U\cap M'$ 是一个 open set in $M$，那么$f(U\cap M')$ 也是$\mathbb{R}^n$ 中的 open set。（因为$f^{-1}$continous）

   因此$M'$ 中，对于任意一个 point $p$，都存在 open set $p\in U\cap M'$，且$U\cap M'$ 同胚于$\mathbb{R}^n$ 中的 open set $f(U\cap M')$。

2. Hausdorff。这个更容易，对于$M'$ 中不同两点$p\neq q$，那么因为$M$ 是 Hausdorff 的，就存在$U,V$ 使得

   $$p\in U\quad q\in V\quad U\cap V=\emptyset$$

   那么不难发现在$M'$ 中有

   $$p\in U\cap M'\quad q\in V\cap M'\quad U\cap M'\cap V\cap M'=\emptyset$$

   故$M'$ 也是 Hausdorff 的。

3. second coutable。这个也容易，对于$M$ 的一个 countable basis $\mathcal{B}$，那么下面就是一个$M'$ 的 countable basis：

   $$\mathcal{B}'=\{B\cap M'\mid B\in\mathcal{B}\}$$

$\square$.

注意，2 和 3 都不需要要求$M'$ 是 open 的，所以更弱，有时候只需要 check 1 即可。

譬如我们想 check $S^{n-1}=\{(x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^n\mid \sum x_i^2=1\}$ 是 manifold 时，因为$S^{n-1}$ 是$\mathbb{R}^n$ 的 sub topology，所以它已经是 Hausdorff 和 second countable 了。

但是由于$S^{n-1}$ 并不是一个$\mathbb{R}^n$ 中的 open set，所以还需要验证$S^{n-1}$ 是 local Euclidean 的。

# Lecture 2

我们证明，对于任意 subset $A\subset \mathbb{R}P^n$，有$\pi^{-1}(A)$ is open in $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ 当且仅当$\pi|_{S^n}^{-1}(A)$ is open in $S^n$。

（直观地，可以把$A$ 想成一些穿过原点的直线的集合）

注意到

$$\pi^{-1}(A)=\{\overrightarrow{x}\in\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}\mid [\overrightarrow{x}]\in A\}\\ \pi|_{S^n}^{-1}(A)=\{\overrightarrow{x}\in S^n\mid [\overrightarrow{x}]\in A\}$$

其中$[\overrightarrow{x}]$ 就是将点$\overrightarrow{x}$ 对应到它的等价类，即一条直线。那么不难发现

$$\pi^{-1}(A)\cap S_n=\pi|_{S^n}^{-1}(A)$$

又因为$S_n$ 作为$\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ 的 sub topology，就有：

$$\pi|_{S^n}^{-1}(A)\text{ is open}\iff \pi^{-1}(A)\cap S^n\text{ is open}\iff \pi^{-1}(A)\text{ is open}$$

所以证毕，这两个是相同的 quotient topology。

$\square$.

我们记$S^n_+=S^n/\sim$，其中，$\overrightarrow{x}\sim\overrightarrow{y}\iff \overrightarrow{x}=\pm\overrightarrow{y}$。在三维中可以想象把球削掉了一半。

那么其实很显然地，$\mathbb{R}P^n\approx S^n_+$，即$\pi|_{S^n_+}$ 就是一个连续的双射。

因为$S^n_+$ 是$S^n$ 的一个 subset，虽然它并不 open，但足以保持 Hausdorff 和 second countable 了。

$\square$.

注意，locally path-connected 就是说，对于任意 point $p\in X$，存在一个 open set $p\in U\subset X$ 使得$U$ 是 path-connected。而且 locally path-connected 无法推出$X$ 是 path-connected 的。（直观想象，越靠近 component 边界的点，存在的 open set 越小）

那么对于任意一个 component（即 maximal path-connected subsets）$U$，我们证明它是 open 的。

对于每一个点$p\in U$，都存在一个 open subset $p\in U_p$ 使得$U_p$ 是 path-connected 的。显然$U_p\subset U$，因为根据 maximal 的要求，$U$ 需要包含所有和$p$ path-connected 的点。

那么显然$U=\bigcup_{p\in U}U_p$，是 open 的。

$\square$.

# Lecture 3

根据 smooth structure 中 maximal 的构造（见前述 (smooth) atlas 中的 remark），实际上我们就是要证明，对于任意一个 chart $(V,\psi)$，如果$(U,\varphi)$ is compatible with $(V,\psi)$，那么$(U',\varphi|_{U'})$ is compatible with $(V,\psi)$。

这其实是显然的，也就是$\psi\circ\varphi^{-1}$ 是 smooth 的话，那么$(\psi\circ\varphi^{-1})|_{\varphi(U'\cap V)}$ 这个 restricted function 也是 smooth 的。

而且注意到，$(\psi\circ\varphi^{-1})|_{\varphi(U'\cap V)}=\psi\circ(\varphi|_{U'})^{-1}$。故$\psi\circ\varphi|_{U'}^{-1}$ 也是 smooth，故$(U',\varphi|_{U'})$ 和$(V,\psi)$ 也 smooth compatible。

另一方向的 smooth 同理。

$\square$.

类似上一个 exercise，我们证明对于任意 chart $(V,\psi)$，如果$(U,\varphi)$ is smooth compatible with $(V,\psi)$，那么$(U,\chi\circ\varphi)$ is smooth compatible with $(V,\psi)$。

首先，$(U,\chi\circ\varphi)$ 的确也是一个 chart。因为$\chi\circ \varphi$ 是两个 homeomorphism 的复合，故也是 homeomorphism。

其次，我们已知$\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)$ 和$\varphi\circ\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\to\varphi(U\cap V)$ 是 smooth 的，那么我们要证明：

$$\psi\circ\varphi^{-1}\circ\chi^{-1}:\chi(\varphi(U\cap V))\to \psi(U\cap V)\\ \chi\circ\varphi\circ\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\to\chi(\varphi(U\cap V))$$

也是 smooth 的。不难发现，利用 composition of differentiable functions is differentiable 就直接得出了。

$\psi\circ\varphi^{-1}\circ\chi^{-1}=(\psi\circ\varphi^{-1})\circ\chi^{-1}$ 就是两个 differentiable function 的复合，故为 smooth。

$\square$.

这个定理实际上说明的是 smooth 的确是一个 local property。

首先，我们证明$(U,\varphi)$ 的确是一个 chart。也就是说，$\varphi$ 是一个 homeomorphism。这是显然的，因为我们考虑的$\varphi$ 的值域就是$\varphi(U)$，并且$\varphi$ 是一个单射。

其次，我们证明，对于任意一个 chart $(V,\psi)$，如果$\forall p\in U,(U_p,\varphi|_{U_p})$ is smooth compatible with $(V,\psi)$，那么有$(U,\varphi)$ 也 smooth compatible with $(V,\psi)$。

不难想象，因为$\psi\circ\varphi|_{U_p}^{-1}$ 在每一个$p\in \varphi(U_p\cap V)$ 都是 infinitely differentiable 的，且

$$\varphi(U\cap V)=\varphi\left (\bigcup_{p\in U}U_p\cap V\right )=\bigcup_{p\in U}\varphi(U_p\cap V)$$

后一个等号是因为$\varphi$ 是 injective。那么对于任意$p\in \varphi(U\cap V)$，都有$p\in\varphi(U_p\cap V)$ 且$\psi\circ\varphi|_{U_p}^{-1}$ 在点$p$ 处是无限可导的。

那么$\psi\circ\varphi^{-1}$ 在点$p$ 处也是无限可导，也就推出$\psi\circ\varphi^{-1}$ 是 smooth 的了。

总之就是根据定义，smooth 的含义就是在每一个点都无限可导，即它是一个 local property。

$\square$.