关于复合函数极限的运算法则的证明和理解

在数学分析课本 P60 页有这么一个定理：

$$定理7（复合函数极限的运算法则）设y=f[g(x)]是函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数\\若满足下列两条件之一：\\ 1、\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=f(u_{0}),\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0}\\ 2、\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=A,\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0},但在0<|x-x_{0}|<\delta内g(x)\neq u_{0}(\delta >0)\\ 则\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)$$

然后这个定理的证明以及条件 2 里那个

$$但在0<|x-x_{0}|<\delta内g(x)\neq u_{0}(\delta >0)$$

条件不知道怎么理解

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# 先来尝试证明条件 2 (注意不同角标的不同含义)

$$由\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=A有：\\ \forall \epsilon_{1}>0,\exists \delta_{1}>0,使得当0<|u-u_{0}|<\delta_{1}时，恒有 |f(u)-A|<\epsilon_{1}············(1)\\ 同样由\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0}有：\\ \forall \epsilon_{2}>0,\exists \delta_{2}>0,使得当0<|x-x_{0}|<\delta_{2}时，恒有 |g(x)-u_{0}|<\epsilon_{1}··············(2)\\ 对(2)式中\epsilon_{2}\pmb{取\epsilon_{2}=\delta_{1}}，再结合(1)，用g(x)代替u则构成如下逻辑命题：\\ *\forall \epsilon_{1}>0,\exists \delta_{1}>0,而对于存在的这个\delta_{1}，又一定存在\delta_{2}使得：\\ 当0<|x-x_{0}|<\delta_2时恒有|g(x)-u_0|<\delta_1\\ *而当|g(x)-u_0|<\delta_1时，由(1)则可以推出恒有|f(g(x))-A|<\epsilon_1\\ 综上所以有\forall \epsilon_1>0,\exists \delta_2>0使得0<|x-x_0|<\delta_2时恒有|f(g(x))-A|<\epsilon_1$$

不过注意到其中有个错误：

$$(1)式中条件有0<|u-u_0|<\delta_1，而(2)式只能得出|g(x)-u_0|<\epsilon_1$$

左边的不等号无法得出。所以条件 (1),(2) 均有其补救措施：

$$在条件(1)中有\\当0=|g(x)-u_0|时,即不满足(1)中的0<|g(x)-u_0|<\delta_1时\\ 但是此时有g(x)=u_0,那么|f(g(x))-f(u_0)|=0<\epsilon_1自然成立了\\$$

$$在条件(2)则更为直接，强行令0<|x-x_0|<min(\delta_2,\delta)=\delta_2'时，g(x)\neq u_0自然有0<|g(x)-u_0|<\delta_1\\$$

$$那么如果不加那个g(x)\neq u_0会怎么样呢？$$

此时条件应该否定为:

$$\forall \delta>0，总\exists x_1,0<|x_1-x_0|<\delta，使得g(x_1)=u_0=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)\\ 形象化理解，即x_0处的g(x)是平的，即x_0处g(x)未发生变化\\ 于是找到反例：\\ g(x)=2\\ f(u)=\left\{ \begin{aligned} 2,u=2\\ 1,u\neq 2 \end{aligned} \right.\\ 此时g(x)就处处是平的常函数，而\\ \lim_{u\rightarrow2}f(u)=1=A\neq2=f(2)\\ 故有\lim_{x\rightarrow1}f(g(x))=\lim_{x\rightarrow1}f(2)=2\neq A$$

感性化理解，则是极限描绘了变化的过程，若 g (x) 在 x0 处是平的话，那么在 x0 的邻域上 g (x) 未发生变化，那么 f (u) 的 **自变量根本没有发生变化**，故求出的极限是错误的