众所周知 Gentzen style 的 intuitionistic logic 中,structural rules 有三条:contraction、weakening、exchange。
而 substructural rules 就是限制了 structural rules 后的一些 intuitionistic logic 的变形。
譬如 Linear logic 就是禁止🙅了 contraction、weakening rules 后得到的。此时 conjunction ∧、disjunction ∨ 都会被分裂成两种,分别叫
- multiplicative conjunction ∗.
- additive conjunction ∧.
- multiplicative disjunction +.
- additive disjunction ∨.
每一个 logic connective(包括 conjunction、disjunction、implication)都有 L、R 两个 inference rules。
# CLL system 以及 ILL
接下来我们介绍完整的 inference rules。实际上还可以引入
Classical Linear Logic System:注意,下述 A,B 不是 atomic 的,而是一个 formula:
A,B::=p\mid A+B\mid A*B\mid A\wedge B\mid A\vee B\mid A\imp B\mid A\rightarrow B\mid \bot\mid \top\mid\mathbf{0}\mid\mathbf{1}\mid !A\mid ?A
-
Axiom:
A⊢AIdΓ′,Γ⊢Δ′,ΔΓ⊢A,ΔΓ′,A⊢Δ′Cut
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Structural rules:
Γ,A′,A′,Γ′⊢BΓ,A,A′,Γ′⊢BExchange
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Strong rules:
这里我们两两给出,注意体会,conjunction 和 disjunction 关于 "⊢" 左右的对称。
“∗“和”+”:
Γ,A∗B⊢ΔΓ,A,B⊢Δ*LΓ,Γ′⊢A∗B,Δ,Δ′Γ⊢A,ΔΓ′⊢B,Δ′*RΓ⊢A+B,ΔΓ⊢A,B,Δ+RΓ,Γ′,A+B⊢Δ,Δ′Γ,A⊢ΔΓ′,B⊢Δ′+L
不知道能不能看出来,*L 和+R、*R 和+L 就是将A,B 从左侧移到了右侧!
“∧ “和”∨”:
Γ,A∧B⊢ΔΓ,A⊢Δ∧LΓ,A∧B⊢ΔΓ,B⊢Δ∧LΓ⊢A∧B,ΔΓ⊢A,ΔΓ⊢B,Δ∧RΓ⊢A∨B,ΔΓ⊢A,Δ∨RΓ⊢A∨B,ΔΓ⊢B,Δ∨RΓ,A∨B⊢ΔΓ,A⊢ΔΓ,B⊢Δ∨L
能看出来,∨R 和∧L、∨L 和∧R 也是将A,B 从一侧移到另一侧!
“implications”:
Γ⊢A−∘BΓ,A⊢B−∘RΓ,Γ′,A−∘B⊢Δ,Δ′Γ⊢A,ΔΓ′,B⊢Δ′−∘L
Γ⊢A→B,ΔΓ,A⊢Δ→RΓ⊢A→B,ΔΓ⊢B,Δ→RΓ,A→B⊢ΔΓ⊢A,ΔΓ,B⊢Δ→L
以及我们可以引入+,∗,∧,∨ 的单位元,分别是0,1,⊤,⊥:
0⊢0LΓ⊢Δ,0Γ⊢Δ0RΓ,1⊢ΔΓ⊢Δ1L⊢11R(no ⊤L)Γ⊢⊤,Δ⊤RΓ,⊥⊢Δ⊥L(no ⊥R)
以及引入 storage 和 costorage:
Γ,!A⊢ΔΓ⊢Δ!WΓ,!A⊢ΔΓ,!A,!A⊢Δ!CΓ,!A⊢ΔΓ,A⊢Δ!L!Γ⊢!A,?Δ!Γ⊢A,?Δ!RΓ⊢?A,ΔΓ⊢Δ?WΓ⊢?A,ΔΓ⊢?A,?A,Δ?CΓ⊢?A,ΔΓ⊢A,Δ?R!Γ,?A⊢?Δ!Γ,A⊢?Δ?L
也可以看出? 和! 的左右对称性。
实际上,上述系统是有冗余的。譬如Cut 这条规则就是可以证明不需要有的。此外,如果我们定义\sim A:=A\imp\mathbf{0},你会发现
?A\equiv \sim!\sim A\equiv !(A\imp \mathbf{0})\imp\mathbf{0}
也就是说? 实际上也是没必要的。但是为了可读性、证明复杂性等等,我们还是显式地引入说明。
Definition:Intuitionistic Linear Logic(ILL)就是限制 "⊢" 右侧只能有一个项(譬如Γ⊢A,Δ 就是不合法的),并且去除关于+,?,0 后剩下的规则。
# IL 到 ILL 的 embedding
我们可以将 Intuitionistic Logic embed 到 ILL,譬如(⋅) 就是一个 embedding mapping:
\begin{aligned}
& (p) && :=p\\
& (\bot) && :=\bot\\
& (\neg A) && :=!(A)\imp\bot\\
& (A\wedge B) && :=(A)\wedge (B)\\
& (A\vee B) && :=!(A)\vee !(B)\\
& (A\rightarrow B) && :=!(A)\imp (B)\\
\end{aligned}
Theorem: 如果在 IL 里有Γ⊢A,那么在 CLL 里就有!(Γ)⊢(A)。
譬如 IL 里有p→q⊢¬p∨q,那么在 CLL 里就有!(!p\imp q)\vdash !(!p\imp\bot)\vee !q。
# Identity expansion & Cut Elimination
注意到,上述规则对于某个 connective,都是L、R 成对出现的。
而且上述规则定义的L、R 规则都是和谐的(L, R rules are in harmony)。
这个和谐体现在两方面:identity expansion 和 cut elimination,或者感性地理解,L 规则和 R 规则是平衡的。
接下来我们都以 "∧" 为例说明这件事。
-
Identity expansion:
假如我们不允许A∧B⊢A∧B 这个 identity 规则。但我们发现,它是可以用∧R,∧L 推导出来的:
A∧B⊢A∧B⟹A∧B⊢A∧BA∧B⊢AA⊢A(∧L)A∧B⊢BB⊢B(∧L)(∧R)
而其中只用到了对于A,B 的 identity 规则。这就叫 identity expansion。
这其实说明,我们只需要关于 atomic proposition 的 identity 规则就行了。其余的都可以推导出来。
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Cut elimination:
假如我们不允许Γ,Γ′⊢Δ,Δ′Γ⊢A∧B,ΔΓ′,A∧B⊢Δ′ 这条规则直接把 "A∧B" 当作一个整体给 cut 掉。同样我们可以:
Γ,Γ′⊢Δ,Δ′Γ⊢A∧B,ΔΓ⊢A,ΔΓ⊢B,Δ(∧R)Γ′,A∧B⊢Δ′Γ′,A⊢Δ′(∧L)⟹Γ,Γ′⊢Δ,Δ′Γ⊢A,ΔΓ′,A⊢Δ′
直接转换为对A 的 cut,也可以得到相同的结果。
一对和谐合理的 L、R 规则必须通过 identity expansion 和 cut elimination。但是反之却不一定,有可能 rules 太过强了。
接下来我们看一个反例。假如说,有一个 connective,譬如叫 “∘”,它有∧L 和∗R:
Γ,A∘B⊢ΔΓ,A⊢Δ∘LΓ,A∘B⊢ΔΓ,B⊢Δ∘LΓ,Γ′⊢A∘B,Δ,Δ′Γ⊢A,ΔΓ′⊢B,Δ′∘R
这会怎样?首先会发现 identity expansion、cut elimination 都会 fail!如下:
A∘B⊢A∘BA⊢A∘BA⊢A⊢B???(∘R)(∘L)Γ′′,Γ,Γ′⊢Δ′′,Δ,Δ′Γ,Γ′⊢A∘B,Δ,Δ′Γ⊢A,ΔΓ′⊢B,Δ′(∘R)Γ′′,A∘B⊢Δ′′Γ′′,A⊢Δ′′(∘L)⟹Γ′′,Γ⊢Δ′′,ΔΓ⊢A,ΔΓ′′,A⊢Δ′′
这意味着什么?假设我们允许下面两条规则:
A∘B⊢A∘B∘IdΓ,Γ′⊢Δ,Δ′Γ,A∘B⊢ΔΓ′⊢A∘B,Δ′∘Cut
那么会怎样?答:会导致 weakening 这条 structural rules 被推导出来!也就是说,一个 connective 的 L、R 规则不和谐,会对全局的 structural rules 有影响!
Γ,B⊢AΓ,B⊢A∘BΓ⊢AB⊢B(∘R)A∘B⊢AA⊢A(∘L)(∘Cut)
也就是我们用Γ⊢A 推导出了Γ,B⊢A,这原本应该是不允许的!
# Algebra & Semantics
Definition
\mathcal{X}:=(X,\wedge,\vee,\bot,\imp,*,\mathbf{1}) is an IL-algebra (Intuitionistic Linear algebra) if:
- (X,∧,∨,⊥) is a lattice with bottom ⊥.
- (X,∗,1) is a commutative monoid with unit 1.
- if x≤x′,y≤y′ then x∗y≤x′∗y′ and x'\imp y\leq x\imp y'.
- x∗y≤z if and only if x\leq y\imp z.
An IL-algebra is a CL-algebra (Classical Linear algebra) if:
- there is an element 0∈X and x=(x\imp\mathbf{0})\imp\mathbf{0} for all x∈X.
此外我们称一个 ©IL-algebra 是 complete 也就是称X 是一个 complete lattice。
Lemma:在一个 IL-algebra 中:
- x∗⋁iyi=⋁i(x∗yi).
- x\imp(y\imp z)=x*y\imp z.
- \bot\imp\bot is the top of X.
在一个 CL-algebra 中,如果记\sim X:=X\imp\mathbf{0},那么:
- x∨y=∼(∼x∨∼y).
- x\imp y=\sim(x*\sim y).
那么对于任意一个 IL-algebra 的实例X,加上一个 assignment function [∣⋅∣],都形成一个 model。
[∣p∣]=x∈X[∣⊥∣]=⊥[∣1∣]=1[∣A⋈B∣]:=[∣A∣]⋈[∣B∣],⋈∈{∗,+,∧,∨}[∣∅∣]=1[∣Γ=A1,...,An∣]=[∣A1∣]∗...∗[∣An∣]
那么对于任意一个 model,soundness,completeness 就要求了
Γ⊢A if and only if [∣Γ∣]≤[∣A∣]
注意我们这讨论 ILL 右侧只有一个 formula。如果右侧也有很多的话,其实是:
A1,...,An⊢B1,...,Bm⟺[∣A1∣]∗...∗[∣An∣]≤[∣B1∣]+...+[∣Bn∣]
举个例子,譬如考虑在ZN 上,有:
\begin{aligned}
& [|\sim A|]:=N-[|A|]\\
& [|A*B|]:=[|A|]+[|B|]-N\\
& [|A+B|]:=[|A|]+[|B|]\\
& [|A\vee B|]:=\max([|A|],[|B|])\\
& [|A\wedge B|]:=\min([|A|],[|B|])\\
& [|A\imp B|]:=N-[|A|]+[|B|]\\
& [|\mathbf{0}|]:=0\\
& [|\mathbf{1}|]:=N
\end{aligned}
那么我们发现,之前的 inference rules system 都是自洽的。譬如我们 check 一条,例如∘L:
\frac{\Gamma\vdash A\quad\Gamma',B\vdash \Delta}{\Gamma,\Gamma',A\imp B\vdash\Delta}\imp\text{L}
对应的就是:
[∣Γ∣]+[∣Γ′∣]+(N−[∣A∣]+[∣B∣])−2N≤[∣Δ∣][∣Γ∣]≤A[∣Γ′∣]+[∣B∣]−N≤[∣Δ∣]
这是显然成立的。
# Categorical semantics
其实 symmetric monoidal closed category 就是一个满足 IL-algebra 要求的结构。
特别是 closed 要求−⊗b 一定有 adjoint functor b\imp - 就特别像 Heyting algebra 的要求。
… 挖坑待补