众所周知 Gentzen style 的 intuitionistic logic 中,structural rules 有三条:contraction、weakening、exchange。

而 substructural rules 就是限制了 structural rules 后的一些 intuitionistic logic 的变形。

譬如 Linear logic 就是禁止🙅‍了 contraction、weakening rules 后得到的。此时 conjunction \wedge、disjunction \vee 都会被分裂成两种,分别叫

  • multiplicative conjunction *.
  • additive conjunction \wedge.
  • multiplicative disjunction ++.
  • additive disjunction \vee.

每一个 logic connective(包括 conjunction、disjunction、implication)都有 L、R 两个 inference rules。

# CLL system 以及 ILL

接下来我们介绍完整的 inference rules。实际上还可以引入

Classical Linear Logic System:注意,下述 A,B 不是 atomic 的,而是一个 formula:

A,B::=p\mid A+B\mid A*B\mid A\wedge B\mid A\vee B\mid A\imp B\mid A\rightarrow B\mid \bot\mid \top\mid\mathbf{0}\mid\mathbf{1}\mid !A\mid ?A
  • Axiom:

    AAIdΓA,ΔΓ,AΔΓ,ΓΔ,ΔCut\frac{}{A\vdash A}\text{Id}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad \Gamma',A\vdash \Delta'}{\Gamma',\Gamma\vdash \Delta',\Delta}\text{Cut}

  • Structural rules:

    Γ,A,A,ΓBΓ,A,A,ΓBExchange\frac{\Gamma,A,A',\Gamma'\vdash B}{\Gamma,A',A',\Gamma'\vdash B}\text{Exchange}

  • Strong rules:

    这里我们两两给出,注意体会,conjunction 和 disjunction 关于 "\vdash" 左右的对称。

    *“和”++”:

    Γ,A,BΔΓ,ABΔ*LΓA,ΔΓB,ΔΓ,ΓAB,Δ,Δ*RΓA,B,ΔΓA+B,Δ+RΓ,AΔΓ,BΔΓ,Γ,A+BΔ,Δ+L\frac{\Gamma,A,B\vdash \Delta}{\Gamma,A*B\vdash \Delta}\text{*L}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma'\vdash B,\Delta'}{\Gamma,\Gamma'\vdash A*B,\Delta,\Delta'}\text{*R}\\ \frac{\Gamma\vdash A,B,\Delta}{\Gamma\vdash A+B,\Delta}\text{+R}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma,A\vdash \Delta\quad\Gamma',B\vdash \Delta'}{\Gamma,\Gamma',A+B\vdash \Delta,\Delta'}\text{+L}

    不知道能不能看出来,*L\text{*L}+R\text{+R}*R\text{*R}+L\text{+L} 就是将A,BA,B 从左侧移到了右侧!

    \wedge “和”\vee”:

    Γ,AΔΓ,ABΔLΓ,BΔΓ,ABΔLΓA,ΔΓB,ΔΓAB,ΔRΓA,ΔΓAB,ΔRΓB,ΔΓAB,ΔRΓ,AΔΓ,BΔΓ,ABΔL\frac{\Gamma,A\vdash \Delta}{\Gamma,A\wedge B\vdash \Delta}\wedge\text{L}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma,B\vdash \Delta}{\Gamma,A\wedge B\vdash \Delta}\wedge\text{L} \hspace{3.0em} \frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma\vdash B,\Delta}{\Gamma\vdash A\wedge B,\Delta}\wedge\text{R}\\ \frac{\Gamma\vdash A,\Delta}{\Gamma\vdash A\vee B,\Delta}\vee\text{R}\hspace{3.0em} \frac{\Gamma\vdash B,\Delta}{\Gamma\vdash A\vee B,\Delta}\vee\text{R}\hspace{3.0em} \frac{\Gamma,A\vdash\Delta\quad\Gamma,B\vdash\Delta}{\Gamma,A\vee B\vdash\Delta}\vee\text{L}

    能看出来,R\vee\text{R}L\wedge\text{L}L\vee \text{L}R\wedge \text{R} 也是将A,BA,B 从一侧移到另一侧!

    “implications”:

    Γ,ABΓA ⁣B ⁣RΓA,ΔΓ,BΔΓ,Γ,A ⁣BΔ,Δ ⁣L\newcommand\imp{\mathrel{-\mkern-3mu\circ}}\\ \frac{\Gamma,A\vdash B}{\Gamma\vdash A\imp B}\imp\text{R}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma',B\vdash \Delta'}{\Gamma,\Gamma',A\imp B\vdash\Delta,\Delta'}\imp\text{L}

    Γ,AΔΓAB,ΔRΓB,ΔΓAB,ΔRΓA,ΔΓ,BΔΓ,ABΔL\frac{\Gamma,A\vdash\Delta}{\Gamma\vdash A\rightarrow B,\Delta}\rightarrow\text{R}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma\vdash B,\Delta}{\Gamma\vdash A\rightarrow B,\Delta}\rightarrow\text{R}\hspace{3.0em} \frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma,B\vdash\Delta}{\Gamma,A\rightarrow B\vdash\Delta}\rightarrow\text{L}

    以及我们可以引入+,,,+,*,\wedge,\vee 的单位元,分别是0,1,,\mathbf{0},\mathbf{1},\top,\bot

    00LΓΔΓΔ,00RΓΔΓ,1Δ1L11R(no L)Γ,ΔRΓ,ΔL(no R)\frac{}{\mathbf{0}\vdash}\mathbf{0}\text{L}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma\vdash\Delta}{\Gamma\vdash\Delta,\mathbf{0}}\mathbf{0}\text{R}\\ \frac{\Gamma\vdash \Delta}{\Gamma,\mathbf{1}\vdash \Delta}\mathbf{1}\text{L}\hspace{3.0em}\frac{}{\vdash\mathbf{1}}\mathbf{1}\text{R}\\ (\text{no }\top\text{L})\hspace{3.0em}\frac{}{\Gamma\vdash\top,\Delta}\top\text{R}\\ \frac{}{\Gamma,\bot\vdash\Delta}\bot\text{L}\hspace{3.0em}(\text{no }\bot\text{R})

    以及引入 storage 和 costorage:

    ΓΔΓ,!AΔ!WΓ,!A,!AΔΓ,!AΔ!CΓ,AΔΓ,!AΔ!L!ΓA,?Δ!Γ!A,?Δ!RΓΔΓ?A,Δ?WΓ?A,?A,ΔΓ?A,Δ?CΓA,ΔΓ?A,Δ?R!Γ,A?Δ!Γ,?A?Δ?L\frac{\Gamma\vdash\Delta}{\Gamma,!A\vdash\Delta}!\text{W}\hspace{3.0em} \frac{\Gamma,!A,!A\vdash\Delta}{\Gamma,!A\vdash\Delta}!\text{C}\hspace{3.0em} \frac{\Gamma,A\vdash\Delta}{\Gamma,!A\vdash\Delta}!\text{L}\hspace{3.0em} \frac{!\Gamma\vdash A,?\Delta}{!\Gamma\vdash !A,?\Delta}!\text{R}\\ \frac{\Gamma\vdash\Delta}{\Gamma\vdash?A,\Delta}?\text{W}\hspace{3.0em} \frac{\Gamma\vdash?A,?A,\Delta}{\Gamma\vdash?A,\Delta}?\text{C}\hspace{3.0em} \frac{\Gamma\vdash A,\Delta}{\Gamma\vdash ?A,\Delta}?\text{R}\hspace{3.0em} \frac{!\Gamma,A\vdash?\Delta}{!\Gamma,?A\vdash?\Delta}?\text{L}

    也可以看出??!! 的左右对称性。

实际上,上述系统是有冗余的。譬如Cut\text{Cut} 这条规则就是可以证明不需要有的。此外,如果我们定义\sim A:=A\imp\mathbf{0},你会发现

?A\equiv \sim!\sim A\equiv !(A\imp \mathbf{0})\imp\mathbf{0}

也就是说?? 实际上也是没必要的。但是为了可读性、证明复杂性等等,我们还是显式地引入说明。


DefinitionIntuitionistic Linear Logic(ILL)就是限制 "\vdash" 右侧只能有一个项(譬如ΓA,Δ\Gamma\vdash A,\Delta 就是不合法的),并且去除关于+,?,0+,?,\mathbf{0} 后剩下的规则。

# IL 到 ILL 的 embedding

我们可以将 Intuitionistic Logic embed 到 ILL,譬如()(\cdot) 就是一个 embedding mapping:

\begin{aligned} & (p) && :=p\\ & (\bot) && :=\bot\\ & (\neg A) && :=!(A)\imp\bot\\ & (A\wedge B) && :=(A)\wedge (B)\\ & (A\vee B) && :=!(A)\vee !(B)\\ & (A\rightarrow B) && :=!(A)\imp (B)\\ \end{aligned}

Theorem: 如果在 IL 里有ΓA\Gamma\vdash A,那么在 CLL 里就有!(Γ)(A)!(\Gamma)\vdash (A)

譬如 IL 里有pq¬pqp\rightarrow q\vdash \neg p\vee q,那么在 CLL 里就有!(!p\imp q)\vdash !(!p\imp\bot)\vee !q。

# Identity expansion & Cut Elimination

注意到,上述规则对于某个 connective,都是LLRR 成对出现的。

而且上述规则定义的LLRR 规则都是和谐的(L, R rules are in harmony)。

这个和谐体现在两方面:identity expansion 和 cut elimination,或者感性地理解,L 规则和 R 规则是平衡的。

接下来我们都以 "\wedge" 为例说明这件事。

  • Identity expansion:

    假如我们不允许ABAB\frac{}{A\wedge B\vdash A\wedge B} 这个 identity 规则。但我们发现,它是可以用R,L\wedge R,\wedge L 推导出来的:

    ABAB    AAABA(L)BBABB(L)ABAB(R)\frac{}{A\wedge B\vdash A\wedge B}\implies \frac{\frac{\frac{}{A\vdash A}}{A\wedge B\vdash A}(\wedge\text{L})\quad\frac{\frac{}{B\vdash B}}{A\wedge B\vdash B}(\wedge\text{L})}{A\wedge B\vdash A\wedge B}(\wedge\text{R})

    而其中只用到了对于A,BA,B 的 identity 规则。这就叫 identity expansion。

    这其实说明,我们只需要关于 atomic proposition 的 identity 规则就行了。其余的都可以推导出来。

  • Cut elimination:

    假如我们不允许ΓAB,ΔΓ,ABΔΓ,ΓΔ,Δ\frac{\Gamma\vdash A\wedge B,\Delta\quad \Gamma',A\wedge B\vdash \Delta'}{\Gamma,\Gamma'\vdash\Delta,\Delta'} 这条规则直接把 "ABA\wedge B" 当作一个整体给 cut 掉。同样我们可以:

    ΓA,ΔΓB,ΔΓAB,Δ(R)Γ,AΔΓ,ABΔ(L)Γ,ΓΔ,Δ    ΓA,ΔΓ,AΔΓ,ΓΔ,Δ\frac{\frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma\vdash B,\Delta}{\Gamma\vdash A\wedge B,\Delta}(\wedge\text{R})\quad\frac{\Gamma',A\vdash \Delta'}{\Gamma',A\wedge B\vdash \Delta'}(\wedge\text{L})}{\Gamma,\Gamma'\vdash\Delta,\Delta'}\implies \frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma',A\vdash \Delta'}{\Gamma,\Gamma'\vdash \Delta,\Delta'}

    直接转换为对AA 的 cut,也可以得到相同的结果。

一对和谐合理的 L、R 规则必须通过 identity expansion 和 cut elimination。但是反之却不一定,有可能 rules 太过强了。


接下来我们看一个反例。假如说,有一个 connective,譬如叫 “\circ”,它有L\wedge LR*R

Γ,AΔΓ,ABΔLΓ,BΔΓ,ABΔLΓA,ΔΓB,ΔΓ,ΓAB,Δ,ΔR\frac{\Gamma,A\vdash\Delta}{\Gamma,A\circ B\vdash \Delta}\circ L\hspace{3.0em} \frac{\Gamma,B\vdash\Delta}{\Gamma,A\circ B\vdash \Delta}\circ L\hspace{3.0em} \frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma'\vdash B,\Delta'}{\Gamma,\Gamma'\vdash A\circ B,\Delta,\Delta'}\circ R

这会怎样?首先会发现 identity expansion、cut elimination 都会 fail!如下:

AA???BAAB(R)ABAB(L)ΓA,ΔΓB,ΔΓ,ΓAB,Δ,Δ(R)Γ,AΔΓ,ABΔ(L)Γ,Γ,ΓΔ,Δ,Δ    ΓA,ΔΓ,AΔΓ,ΓΔ,Δ\frac{\frac{\frac{}{A\vdash A}\quad \frac{???}{\vdash B}}{A\vdash A\circ B}(\circ R)}{A\circ B\vdash A\circ B}(\circ L)\hspace{3.0em} \frac{\frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma'\vdash B,\Delta'}{\Gamma,\Gamma'\vdash A\circ B,\Delta,\Delta'}(\circ R)\quad \frac{\Gamma'',A\vdash\Delta''}{\Gamma'',A\circ B\vdash \Delta''}(\circ L)}{\Gamma'',\Gamma,\Gamma'\vdash \Delta'',\Delta,\Delta'}\implies\frac{\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Gamma'',A\vdash \Delta''}{\Gamma'',\Gamma\vdash \Delta'',\Delta}

这意味着什么?假设我们允许下面两条规则:

ABABIdΓ,ABΔΓAB,ΔΓ,ΓΔ,ΔCut\frac{}{A\circ B\vdash A\circ B}\circ\text{Id}\hspace{3.0em}\frac{\Gamma,A\circ B\vdash \Delta\quad \Gamma'\vdash A\circ B,\Delta'}{\Gamma,\Gamma'\vdash \Delta,\Delta'}\circ\text{Cut}

那么会怎样?答:会导致 weakening 这条 structural rules 被推导出来!也就是说,一个 connective 的 L、R 规则不和谐,会对全局的 structural rules 有影响!

ΓABBΓ,BAB(R)AAABA(L)Γ,BA(Cut)\frac{\frac{\Gamma\vdash A\quad\frac{}{B\vdash B}}{\Gamma,B\vdash A\circ B}(\circ R)\quad\frac{\frac{}{A\vdash A}}{A\circ B\vdash A}(\circ L)}{\Gamma,B\vdash A}(\circ \text{Cut})

也就是我们用ΓA\Gamma\vdash A 推导出了Γ,BA\Gamma,B\vdash A,这原本应该是不允许的!

# Algebra & Semantics

Definition

\mathcal{X}:=(X,\wedge,\vee,\bot,\imp,*,\mathbf{1}) is an IL-algebra (Intuitionistic Linear algebra) if:

  • (X,,,)(X,\wedge,\vee,\bot) is a lattice with bottom \bot.
  • (X,,1)(X,*,\mathbf{1}) is a commutative monoid with unit 1\mathbf{1}.
  • if xx,yyx\leq x',y\leq y' then xyxyx*y\leq x'*y' and x'\imp y\leq x\imp y'.
  • xyzx*y\leq z if and only if x\leq y\imp z.

An IL-algebra is a CL-algebra (Classical Linear algebra) if:

  • there is an element 0X\mathbf{0}\in X and x=(x\imp\mathbf{0})\imp\mathbf{0} for all xXx\in X.

此外我们称一个 ©IL-algebra 是 complete 也就是称XX 是一个 complete lattice。

Lemma:在一个 IL-algebra 中:

  • xiyi=i(xyi)x*\bigvee_i y_i=\bigvee_i(x*y_i).
  • x\imp(y\imp z)=x*y\imp z.
  • \bot\imp\bot is the top of XX.

在一个 CL-algebra 中,如果记\sim X:=X\imp\mathbf{0},那么:

  • xy=(xy)x\vee y=\sim(\sim x\vee\sim y).
  • x\imp y=\sim(x*\sim y).

那么对于任意一个 IL-algebra 的实例XX,加上一个 assignment function [][|\cdot|],都形成一个 model。

[p]=xX[]=[1]=1[AB]:=[A][B],{,+,,}[]=1[Γ=A1,...,An]=[A1]...[An]\begin{aligned} &\left [|p|\right ]=x\in X\\ & [|\bot|]=\bot\\ & [|\mathbf{1}|]=\mathbf{1}\\ & \left [|A\bowtie B|\right ]:=\left [| A\right |]\bowtie\left [| B\right |],\bowtie\in\{*,+,\wedge,\vee\}\\ & [|\emptyset|]=\mathbf{1}\\ &[|\Gamma=A_1,...,A_n|]=[|A_1|]*...*[|A_n|] \end{aligned}

那么对于任意一个 model,soundness,completeness 就要求了

ΓA if and only if [Γ][A]\Gamma\vdash A\text{ if and only if }[|\Gamma|]\leq [|A|]

注意我们这讨论 ILL 右侧只有一个 formula。如果右侧也有很多的话,其实是:

A1,...,AnB1,...,Bm    [A1]...[An][B1]+...+[Bn]A_1,...,A_n\vdash B_1,...,B_m\iff[|A_1|]*...*[|A_n|]\leq [|B_1|]+...+[|B_n|]


举个例子,譬如考虑在ZN\mathbb{Z}_N 上,有:

\begin{aligned} & [|\sim A|]:=N-[|A|]\\ & [|A*B|]:=[|A|]+[|B|]-N\\ & [|A+B|]:=[|A|]+[|B|]\\ & [|A\vee B|]:=\max([|A|],[|B|])\\ & [|A\wedge B|]:=\min([|A|],[|B|])\\ & [|A\imp B|]:=N-[|A|]+[|B|]\\ & [|\mathbf{0}|]:=0\\ & [|\mathbf{1}|]:=N \end{aligned}

那么我们发现,之前的 inference rules system 都是自洽的。譬如我们 check 一条,例如L\circ L

\frac{\Gamma\vdash A\quad\Gamma',B\vdash \Delta}{\Gamma,\Gamma',A\imp B\vdash\Delta}\imp\text{L}

对应的就是:

[Γ]A[Γ]+[B]N[Δ][Γ]+[Γ]+(N[A]+[B])2N[Δ]\frac{[|\Gamma|]\leq A\quad [|\Gamma'|]+[|B|]-N\leq [|\Delta|]}{[|\Gamma|]+[|\Gamma'|]+(N-[|A|]+[|B|])-2N\leq [|\Delta|]}

这是显然成立的。


# Categorical semantics

其实 symmetric monoidal closed category 就是一个满足 IL-algebra 要求的结构。

特别是 closed 要求b-\otimes b 一定有 adjoint functor b\imp - 就特别像 Heyting algebra 的要求。

… 挖坑待补