关于史瓦西度规和拉格朗日方程的推导

华兹华斯: “一个崇高的目标，只要矢志不渝地追求，就会成为壮举”

# 借助史瓦西度规推导低速欧式空间重力场下的拉格朗日方程

# 度规的引入

• 在力学体系中讨论的位形空间往往都不是普通、平直的线性矢量空间。在数学上对于更一般的、或弯曲的空间称为流形。而流形理论不为本文重点，仅作提及。在加入时间$t$ 这一维度后，物体在流形中的运动便可被描述为一条条的世界线。

• 我们知道，在广义相对论中，一个通俗的说法就是空间会因为引力而发生扭曲。而如何描述流形空间是否是 “弯曲的”，一个基本想法是看空间中两点是否连线最短，此时则需要引入线元的概念：在一般的空间中，无穷小距离的平方总是可以表示成广义坐标微分的二次型。而这个无穷小距离的平方被称为 “线元”，通常记作$ds^2$，而二次型的系数即为度规。

# 三维欧氏空间的度规

• 广义坐标的选择有多种，下面介绍常见的对于直角坐标和球坐标的度规。

  • 取$x^i\equiv\{x^1,x^2,x^3\}\equiv\{x,y,z\}$，有$ds^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2$

    换一种常见写法，即为:

    $$ds^2=\begin{pmatrix}dx^1&dx^2&dx^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx^1\\dx^2\\dx^3\end{pmatrix}$$

    而矩阵$\delta_{ij}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 则称为 3 维欧式空间的度规在直角坐标下的分量。

  • 若取$x^i\equiv\{r,\theta,\phi\}$，在球坐标系下有$ds^2=(dr)^2+r^2(d\theta)^2+r^2sin^2\theta(d\phi)^2$

    换成矩阵写法，即为:

    $$ds^2=\begin{pmatrix}dr&d\theta&d\phi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2sin^2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dr\\d\theta\\d\phi\end{pmatrix}$$

    而矩阵$\delta_{ij}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2sin^2\theta\end{pmatrix}$ 即为 3 维欧氏空间的度规在球坐标系下的分量。

# 闵氏空间的度规

• 然而在狭义相对论的学习中，我们意识到 “长度” 的测量需要考虑时间的同时性。爱因斯坦狭义相对论的时空背景是闵可夫斯基时空，是一个$R^4$ 线性空间。

• 闵氏空间中，取一广义坐标（直角坐标加时间）$x^i=\{ct,x,y,z\}$，有$ds^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2-(cdt)^2$，即:

  $$\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$

  实际上这个度规定义了闵氏时空（平坦时空）。

# 史瓦西度规

• 然而真实世界中，或者说在广义相对论的理论下，时空是会因为质量和引力而弯曲的。天文学家史瓦西给出了爱因斯坦方程的第一个严格解，即史瓦西度规：

  $$ds^2=c^2(1-\frac{2GM}{c^2r})dt^2-(1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}dr^2-r^2d\theta^2-r^2sin^2\theta d\phi^2$$

# 拉格朗日方程的推导

• 下面进入核心部分。在一个引力场中的自由粒子的作用量（可以暂且理解为粒子运动变化的趋势）是在流形空间中可能轨迹的泛函。其定义为$S[f]=-mc\int|ds|$。根据最小作用量原理，有$\delta S\equiv 0$。

  特别地，自由粒子在引力场中的作用量正比于其世界线的长度。即粒子倾向于沿着世界线最短，即测地线运动。

• 低速前提下作用量以及运动方程的推导：

  $$S=-mc\int|ds|=-mc\int\sqrt{c^2(1-\frac{2GM}{c^2r})dt^2-(1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}dr^2-r^2(d\theta^2+sin^2\theta d\phi^2)}\\ =-mc\int dt\sqrt{c^2(1-\frac{2GM}{c^2r})-(1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}(\frac{dr}{dt})^2-r^2(\frac{d\theta}{dt})^2-sin^2\theta (\frac{d\phi}{dt})^2}$$

  记$\dot{r}=\frac{dr}{dt},\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt},\dot{\phi}=\frac{d\phi}{dt}$，根据低速的前提条件，有

  $$\frac{\dot{r}}{c},\frac{r\dot{\theta}}{c},\frac{r\dot{\phi}}{c}<<1,$$

  又因为引力效应较弱，有$\frac{GM}{c^2r}<<1$，于是，有:

  $$S=-mc\int cdt\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}\sqrt{1-(1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}[(1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}(\frac{\dot{r}}{c})^2+r^2(\frac{\dot{\theta}}{c})^2+r^2sin^2\theta(\frac{\dot{\phi}}{c})^2]}\\$$

  而根据泰勒公式，有:

  $$\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{2GM}{c^2r}-\frac{1}{8}\cdot(\frac{2GM}{c^2r})^2\dots\\ (1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}=1+\frac{2GM}{c^2r}+(\frac{2GM}{c^2r})^2\dots$$

  注意到，根号下的$(1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}(\frac{\dot{r}}{c})^2+r^2(\frac{\dot{\theta}}{c})^2+r^2sin^2\theta(\frac{\dot{\phi}}{c})^2$ 已经是二阶小量。所以$\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}$ 需保留至$1-\frac{1}{2}\cdot\frac{2GM}{c^2r}$，而$(1-\frac{2GM}{c^2r})^{-1}$ 仅需保留至$1$ 即可完成近似。于是有：

  $$S=-mc\int cdt(1-\frac{GM}{c^2r})\sqrt{1-\frac{1}{c^2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)}\\$$

  由小量近似:

  $$S=-mc\int cdt(1-\frac{GM}{c^2r})[1-\frac{1}{2c^2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)]\\ =-mc\int cdt[1-\frac{1}{2c^2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)-\frac{GM}{c^2r}+\frac{1}{2c^2}\cdot\frac{GM}{c^2r}\cdot(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)]$$

  注意到最后一项为二阶小量，有:

  $$S=-mc\int cdt[1-\frac{1}{2c^2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)-\frac{GM}{c^2r}]\\ =\int dt[-mc^2+\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)+\frac{GMm}{r^2}]$$

  其中，动能$T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2$，引力势能$V=-\frac{GMm}{r^2}$，而$L=T-V$ 就是常说的拉格朗日量。

  下面继续推导运动方程。由最小作用量原理，有$\delta S\equiv 0$，即

  $$\delta S=\delta\int dt[-mc^2+L]\\ =\int dt\delta L=\int dt(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\delta \dot{q_i})$$

  其中在球坐标系下$q_i=\{r,\theta,\phi\},\dot{q_i}=\{\dot{r},\dot{\theta},\dot{\phi}\}$，由变分法原理:

  $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta(\frac{dq}{dt})=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{dt\delta(dq)-dqd(\delta t)}{dt^2}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{dt\delta(dq)-0}{dt^2}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{\delta(dq)}{dt}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{d(\delta q)}{dt}$$

  其中用到了$\delta t\equiv 0$

  由分部积分法

  $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{d(\delta q)}{dt}=\frac{d(\int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{d(\delta q)}{dt}\cdot dt)}{dt}=\frac{d(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q-\int \delta qd(\frac{\partial L}{\partial{\dot{q}}}))}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q)-\delta q\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}})$$

  所以原式化为:

  $$\delta S=\int dt\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ d(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}\delta q_i)-dt\delta q_i\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}})\\ =\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}\delta q_i\bigg|_{q_{i1}}^{q_{i2}}+\int dt\delta q_i[\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}})]$$

  根据变分法中一大假设：在积分端点处，函数及其导函数变分为 0。所以有:

  $$\delta S=\int dt\delta q_i[\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}})]$$

  由泛函导数定义，有:

  $$\frac{\delta S[q_i]}{\delta q_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}})=0,i=1,2,3,...$$

  即获得了经典的拉格朗日方程。

# 后记

​ 拉格朗日量为拉格朗日力学的核心。由于能力有限，我只推导了无约束自由粒子在不受广义力低速条件下的拉格朗日方程，在求解平衡条件和情况时比较有用。世界线的提出可以有效分析双生子悖论等相对论效应，更神奇地，将时间以$ct$ 的形式加入坐标系，利用度规来描述空间，物理定律彷佛在统一和集大成。

“人所需要的不是三俄尺土地，也不是一个庄园，而是整个地球，整个大自然，在那广大的天地中人才能够尽情发挥他自由精神的所有品质和特点。”

​ —— 契诃夫

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