最不喜欢的，还是学分第一大课，可恶

upd：我收回，我真是太爱数学分析了

# 极限部分

# “趋向的描述”——ε-δ 语言

我认为极限一直在描述下面这种推导关系

$$x\rightarrow x_{0} \Rightarrow f(x)\rightarrow f(x_{0})\\$$

严谨地，有

$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,使\forall x \in \mathring{U}(x_{0},\delta)，恒有f(x)\in U(f(x_0),\epsilon)$$

其实我认为这样的定义并没有反映出 **” 趋近 “** 的趋势，而只是描述了无限接近，其中

$$x\rightarrow x_{0} 翻译为：\forall x \in \mathring{U}(x_{0},\delta)\\ f(x)\rightarrow f(x_{0})翻译为：恒有f(x)\in U(f(x_0),\epsilon)\\ 而前者推出后者决定了\forall\epsilon>0,\exists\delta>0$$

# 极限存在与否

由于我们研究的极限总是形如

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$$

则总有自变量到因变量的映射，于是总是会牵扯到极限是否存在的问题

常用判断极限存在的方法有：

迫敛性、单调有界定理、区间套定理

# 海涅定理

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A \Leftrightarrow 对任意以a为极限的数列\{x_n\},恒有\lim_{n\rightarrow\infin}f(x_n)=A\\ *要注意的是，f(x)是函数，是连续的，而x_n以及f(x_n)都是离散的数列$$

“海涅定理深刻地揭示了变量连续和离散的关系，以及变量在变化过程中的整体和部分关系”

往往利用逆否命题证明极限的不存在

# 柯西收敛准则

我认为这是更符合正常人理解的一种收敛的定义

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,使\\ \forall x^{'},x^{''}\in\mathring{U}(x_0,\delta),恒有|f(x^{'})-f(x^{''})|<\epsilon$$

# 极限的性质

关于数列，我认为其对于函数只有一点不同就是：

​ 收敛数列必有界

因为数列有起始项，导致其一端天然有界，以及数列我们都在讨论自变量趋于无穷的情况

下面主要讨论函数

# 唯一、有界、保号、保序、迫敛、压缩、运算

要注意的是，有界，保号，保序，迫敛都是基于在 x0 的某一个去心邻域里讨论的

# 复合函数极限运算

可以见 https://subonan.com/2020/10/07/% E5%85% B3% E4% BA%8E% E5% A4%8D% E5%90%88% E5%87% BD% E6%95% B0% E6%9E%81% E9%99%90% E7%9A%84% E8% BF%90% E7% AE%97% E6% B3%95% E5%88%99/

# 从一个有界函数中可以找出一个收敛子列

当时我想了一段时间这个子列的概念，实际上就是从连续中抽出离散，然后就是废话了

# 关于等价无穷小

使用条件是乘除可用，而加减不可

？？？？？？？？？？？？？？？？？？
先用着，给出常用等价无穷小

$$*************x\rightarrow0时有*************\\ x\sim sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx\sim ln(1+x)\sim e^x-1\\ a^x-1\sim xlna,(1+x)^a\sim 1+ax,1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2\\ 更多地\\ x-sinx\sim\frac{1}{6}x^3\Leftrightarrow arcsinx-x\sim\frac{1}{6}(arcsinx)^3 \sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx-x\sim\frac{1}{3}x^3\Leftrightarrow arctanx-x\sim\frac{1}{3}x^3$$

• upd：在讨论后我确定了等价无穷小本质就是极限的四则运算

# 函数的连续性

# 连续函数的判定

初等函数（幂函数，指数函数，对函数，三角函数，反三角函数）是连续的

连续函数四则运算出来仍是连续函数

连续函数复合出来的函数仍是连续的

# 间断点

• 左右极限存在相等，但不等于函数值：可去间断点
• 左右极限存在不相等：跳跃间断点（第一类间断点）
• 左右极限至少一个不存在：第二类间断点

# 连续函数的性质

其实都是一堆废话

中间值定理不如拉格朗日中值定理广义

反函数的连续性又太侠义

以及废话：闭区间上连续函数必有界

# 一致连续性

$$\forall\epsilon>0,若\exists\delta>0,使\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta,都有|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\\ 则称f(x)在I上一致连续$$

一时语塞

# 微分法

# 导数的定义

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

需要注意的是

$$在\frac{d^ny}{dx^n}中，dx^n\neq(dx)^n\\ 相应应是\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}......\frac{d}{dx}y\\ 其实我的理解是把\frac{d}{dx}看作一个算符，它进行了n次计算$$

# 微分

下面进行最为精彩部分的说明

关于无穷小的数域定义

在无穷小数域中，既可以说相等，也可以说等价

$$在x\rightarrow 0的情况下\\ 如果我们把x定义为单位无穷小\\ 则A*x^B则为权为A的B阶无穷小$$

用阶和权就可以定义所有的无穷小数。

下面阐释 Δx 和 dx 的区别

dx 是 Δx 的线性主项，它们不相等，但它们等价

严谨地

$$当x作自变量时，dx=Δx\\ 当x=h(t)时，Δx=AΔt+\alpha,其中\alpha是Δx的高阶无穷小，而dx=AΔx\\ 可以证明，Δx一定可以化成f^{'}(t)Δt+\alpha的形式\\ 所以有dx=f^{'}(t)Δt,若t不再是其他自变量的函数，则Δt=dt$$

高阶地，有

$$d^2y=f^{''}(x)(dx)^2+f^{'}(x)d^2x\\$$

然后传统定义中，x 往往看作是最底层的自变量，即 dx 处处相等，永远等于那个 ** 权为 1，阶为 1 的单位无穷小量

$$所以有d^2x=0\\ 原式化为d^2y=f^{''}(x)(dx)^2$$

但是注意，这里是用定义推出的 A 正好等于 f (x) 的二阶导数，而

$$\frac{d^2y}{dx^2}中，分子分母是不可拆开的。\frac{d}{dx}是一个整个算符，再次强调$$

# 中值定理

说法多多，主要有拉格朗日定理和广义中值定理

$$(拉格朗日中值定理)若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，则\exists c\in(a,b)使\\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(c)$$

$$(广义中值定理)若f(x),g(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，则\exists c\in(a,b)使\\ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)}$$

根据广义中值定理，我尝试创造了个伪洛必达法则（后来发现好像是真的

$$若要计算\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}，但是f(x_0)=g(x_0)=0 那么，就可以:\\ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f^{'}(x^{'})}{g^{'}(x^{'})}\\ 而x^{'}总在x与x_0之间，故\\ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x^{'}\rightarrow x_0}\frac{f(x^{'})}{g(x^{'})}=\frac{f^{'}(x_0)}{g^{'}(x_0)}$$

# 泰勒公式

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)\\ 其中，o((x-x_0)^n)被称为配亚诺形式余项，拉格朗日给出了更为精确的形式\\ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，\xi\in(x_0,x)$$

• 根据我的发现，若想求 f (x), 则在 x 或 x 附近展开是最准确的，相反地，若展开点离 x 越远，若想保持精度需要展开的项数关于距离呈指数倍增加。
• 特别地，在 x=0 处的展开式称为麦克劳林展开式，给出几个常用展开式：

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3！}+\frac{x^4}{4!}+...\\ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-...\\ sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...\\ ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-...\\ \frac{1}{tanx}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-...\\$$

# 微分的应用

• 注意，在讨论单调性、增减性、凹凸性时，满足的条件都是 f (x) 在闭区间内连续，开区间内可微（二次可微）。

  根据我的理解，这其实已经保证了端点处单侧可导

• 渐近线

  • 定义：曲线到该直线距离趋近于 0

  • $$k=\lim_{x\rightarrow \infin}\frac{f(x)}{x},b=\lim_{x\rightarrow\infin}f(x)-kx$$

• 曲率

  $$给出定义式：曲率K=|\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|\\ K=|\frac{y''}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}|\\ K=|\frac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}|(参数方程形式)$$

# 洛必达法则求极限

$$f(x)和g(x)需要在a的一个去心邻域可微分，才可以进行洛必达法则\\ \frac{\infin}{\infin}和\frac{0}{0}都可以洛必达\\ 这里有个结论，log_ax的上升速度小于x^a,再小于a^x$$

# 积分学

# 定义

$$设f(x)在[a,b]上有定义，用\textbf{任意}的方法，将[a,b]分成\textbf{有限}个小部分：\\ a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b,\\ 用T表示这种分法，d(T)表示max\{x_i-x_{i-1}\}\\ 作和数\sigma=\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_i})\Delta x_i,其中，\bar{x_i}是[x_{i-1},x_i]中任取的一点\\ 则\sigma称为积分和。当d(T)\rightarrow 0时，若\sigma存在有限极限，则称f(x)在[a,b]上黎曼可积$$

$$注：定义中关于“存在”和“对于任意”这种逻辑关系词有欠缺，根据我的理解：\\ f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow\\ \forall \epsilon>0,均\exists\delta>0,使得\quad\forall d(T)<\delta的分法T，和对于任意区间内\bar{x_i}的选择，均有\\ |\sum_{i=1}^nf(\bar{x_i})\Delta x_i-I|<\epsilon,I为有限数$$

# 性质

$$*f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow \lim_{d(T)\rightarrow 0}\sigma_{max}-\sigma_{min}=0,注意，这里的max和min是关于同一分法T，不同\bar{x_i}选法中的最大，最小积分和。\\ *f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow \lim_{d(T)\rightarrow 0}\omega_i\Delta x_i=0,其中\omega_i=sup[x_{i-1},x_i]-inf[x_{i-1},x_i]\\ *f(x)在[a,b]上可积\Leftrightarrow\\ \forall \epsilon>0,\sigma>0,\exists\delta>0,对于所有d(T)<\epsilon的分法T，均有:\\ T中振幅\omega_i\geq\epsilon的区间长度和\sum\Delta x_i<\sigma$$

# 判定可积（可积的充分条件）

$$*f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上可积\\ *f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则可积\\ *f(x)在[a,b]上单调，则可积\\$$

# 可积带来的性质（可积的必要条件）

$$*f(x)在[a,b]上可积\Rightarrow f(x)在[a,b]上有界\\ *可积函数作加减法，数乘仍可积\\ *函数可积区间可拼接\\ *可积函数的积分值保留符号(若f(x)在[a,b]>0,则\int_a^bf(x)dx>0)\\ *可积函数改变有限个点的函数值，既不影响可积性也不影响极限值$$

# 积分学中值定理

$$若f(x)在[a,b]上连续（可积），g(x)在[a,b]上可积，不变号，则:\\ \exists \zeta\in[a,b],使得\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\zeta)\int_a^bg(x)dx\\ 当g(x)=1可以有更好看的形式$$

---

$$若f(x)在[a,b]上单调（可积），g(x)在[a,b]上可积，则:\\ \exists\zeta\in[a,b],\int_a^bf(x)g(x)dx=f(a)\int_a^\zeta g(x)dx+f(b)\int_\zeta^bg(x)dx$$

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$$若f(x)在[a,b]上递减（可积），且非负，g(x)在[a,b]上可积，则:\\ \exists \zeta\in[a,b],\int_a^bf(x)g(x)dx=f(a)\int_a^\zeta g(x)dx$$

$$若f(x)在[a,b]上递增（可积），且非负，g(x)在[a,b]上可积，则:\\ \exists \zeta\in[a,b],\int_a^bf(x)g(x)dx=f(b)\int_\zeta^b g(x)dx$$

# 原函数

• 若 f (x) 在 [a,b] 上可积，则它的原函数 F (x) 在 [a,b] 上连续。

• $$若f(x)在[a,b]可积，且在x_0\in[a,b]处连续，则\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt在x_0处的导数=f(x_0)\\ 由此推出：\\ 连续函数一定有原函数（可积），因为\Phi(x)=\int_a^tf(t)dt就是一个原函数$$

# 求积分

• 分部积分法规则：反函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，越靠后越优先放进 dx 里然后分部积分

• 一切实系数多项式都能分解为次数为 1 和 2 的素因式，因为虚根都是成共轭出现的

• 当将 x=g (t) 变换时，积分域需要选择一个 g (t) 的单调区间，且这个区间的值域等于 x 的积分域

• 常用积分（求导）公式

  $$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}a arctan\frac{x}a+C(令x=atan\alpha)\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}a+C(直接积出来的)\\ \int\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C(令x=asin\alpha)\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C(令x=atan\alpha)\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln(x-\sqrt{x^2-a^2})+C(令x=\frac{a}{sin\alpha})\\ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C(令x=asin\alpha)\\ \int\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(令x=\frac{a}{sin\alpha})\\ \int\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C(令x=atan\alpha)\\ \int\frac{dx}{sinx}=ln|tan\frac{x}2|+C(把分母变形为2tan\frac{x}2cos^2\frac{x}2)\\ \int\frac{dx}{cosx}=ln|tan(\frac{x}2+\frac{\pi}4)|+C(把sinx变成cosx)\\ \int e^{ax}sinbxdx=\frac{e^{ax}(asinbx-bcosbx)}{a^2+b^2}+C(分部积分,解方程)\\ \int e^{ax}cosbxdx=\frac{e^{ax}(bsinbx+acosbx)}{a^2+b^2}+C(分部积分，解方程)\\ \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{1}{2a^2}\times\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^3}arctan\frac{x}{a}+C(令x=atan\alpha)$$